Asimtot vertikal dan horizontal fungsi f(x)=x^3+2 x+1/x^3-x

Asimtot vertikal: x=-1, x=0, x=1; Asimtot horizontal: y=1

Pembahasan

Untuk menentukan asimtot vertikal dan horizontal dari fungsi f(x) = (x^3 + 2x + 1) / (x^3 - x), kita perlu menganalisis perilaku fungsi saat x mendekati nilai tertentu atau tak hingga.

Asimtot Vertikal:
Asimtot vertikal terjadi ketika penyebut fungsi mendekati nol, sementara pembilang tidak nol. Faktorkan penyebutnya:
x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x-1)(x+1)
Penyebut bernilai nol ketika x = 0, x = 1, atau x = -1.
Periksa pembilang pada nilai-nilai ini:
Jika x = 0, pembilang = 0^3 + 2(0) + 1 = 1 (tidak nol).
Jika x = 1, pembilang = 1^3 + 2(1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4 (tidak nol).
Jika x = -1, pembilang = (-1)^3 + 2(-1) + 1 = -1 - 2 + 1 = -2 (tidak nol).
Karena pembilang tidak nol pada nilai-nilai ini, maka asimtot vertikalnya adalah x = 0, x = 1, dan x = -1.

Asimtot Horizontal:
Asimtot horizontal ditentukan oleh perbandingan koefisien suku dengan pangkat tertinggi di pembilang dan penyebut. Dalam fungsi ini, pangkat tertinggi di pembilang adalah x^3 dan di penyebut juga x^3.
Koefisien x^3 di pembilang adalah 1.
Koefisien x^3 di penyebut adalah 1.
Karena pangkat tertinggi sama di kedua bagian, asimtot horizontal adalah perbandingan koefisiennya:
y = (koefisien pembilang) / (koefisien penyebut) = 1/1 = 1.
Maka, asimtot horizontalnya adalah y = 1.

Dengan demikian, asimtot vertikal dan horizontal fungsi tersebut adalah x = -1, x = 0, x = 1, dan y = 1.