Bagaimana menentukan nilai optimum fungsi kuadrat tersebut?

Nilai optimum fungsi kuadrat dapat ditentukan menggunakan rumus titik puncak (-b/2a), turunan, atau dengan melengkapkan kuadrat sempurna.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai optimum (nilai maksimum atau minimum) dari fungsi kuadrat, kita dapat menggunakan beberapa metode:

1.  **Menggunakan Rumus Titik Puncak (Vertex Form):**
    Fungsi kuadrat umumnya ditulis dalam bentuk f(x) = ax^2 + bx + c.
    Nilai optimum (puncak) terjadi pada absis x = -b / (2a).
    Setelah menemukan nilai x, substitusikan kembali ke dalam fungsi untuk mendapatkan nilai optimumnya, yaitu f(-b / (2a)).
    Jika 'a' positif, fungsi memiliki nilai minimum. Jika 'a' negatif, fungsi memiliki nilai maksimum.

2.  **Menggunakan Turunan (Kalkulus):**
    Cari turunan pertama dari fungsi kuadrat, f'(x).
    Atur turunan pertama sama dengan nol (f'(x) = 0) dan selesaikan untuk x. Nilai x ini adalah absis dari titik puncak.
    Untuk menentukan apakah itu nilai maksimum atau minimum, kita bisa menggunakan turunan kedua. Jika f''(x) > 0, maka itu adalah nilai minimum. Jika f''(x) < 0, maka itu adalah nilai maksimum.
    Fungsi kuadrat f(x) = ax^2 + bx + c memiliki turunan pertama f'(x) = 2ax + b.
    Menyetel f'(x) = 0 memberikan 2ax + b = 0, sehingga x = -b / (2a), yang sama dengan metode pertama.
    Turunan kedua adalah f''(x) = 2a. Jika a > 0, f''(x) > 0 (minimum). Jika a < 0, f''(x) < 0 (maksimum).

3.  **Melengkapkan Kuadrat Sempurna:**
    Ubah bentuk f(x) = ax^2 + bx + c ke dalam bentuk f(x) = a(x - h)^2 + k.
    Dalam bentuk ini, (h, k) adalah koordinat titik puncak. Nilai optimumnya adalah k, yang terjadi saat x = h.
    Jika a > 0, nilai optimumnya adalah k (minimum).
    Jika a < 0, nilai optimumnya adalah k (maksimum).

Contoh:
Untuk fungsi f(x) = 2x^2 - 8x + 5:
    a = 2, b = -8, c = 5.
    Nilai x pada puncak = -(-8) / (2 * 2) = 8 / 4 = 2.
    Nilai optimum = f(2) = 2(2)^2 - 8(2) + 5 = 2(4) - 16 + 5 = 8 - 16 + 5 = -3.
    Karena a = 2 (positif), nilai optimumnya adalah nilai minimum, yaitu -3.