Balok ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk AB = 8 cm, BC = 9

Jarak garis EH terhadap bidang AKLD adalah 9.6 cm.

Pembahasan

Balok ABCD.EFGH memiliki:
Panjang AB = 8 cm (sumbu x)
Lebar BC = 9 cm (sumbu y)
Tinggi CG = 12 cm (sumbu z)

Kita dapat memposisikan titik-titik balok dalam sistem koordinat Kartesius:
A = (0, 0, 0)
B = (8, 0, 0)
C = (8, 9, 0)
D = (0, 9, 0)
E = (0, 0, 12)
F = (8, 0, 12)
G = (8, 9, 12)
H = (0, 9, 12)

Titik K di tengah BF:
K = ((8+8)/2, (0+0)/2, (12+12)/2) = (8, 0, 12) -> Ini salah, K di tengah BF. K = ((8+8)/2, (0+0)/2, (12+12)/2) = (8,0,12) ini adalah F. Seharusnya K di tengah BF, F=(8,0,12), B=(8,0,0). Maka K = (8, 0, (0+12)/2) = (8, 0, 6).

Titik L di tengah CG:
L = ((8+8)/2, (9+9)/2, (0+12)/2) = (8, 9, 6).

Kita perlu mencari jarak garis EH terhadap bidang AKLD.

Garis EH terletak pada bidang y=9, z=12, dengan x bervariasi dari 0 sampai 8.
Titik E = (0, 0, 12), H = (0, 9, 12).
Oh, ini salah penamaan balok. Jika AB=8, BC=9, CG=12, maka:
A=(0,0,0), B=(8,0,0), C=(8,9,0), D=(0,9,0)
E=(0,0,12), F=(8,0,12), G=(8,9,12), H=(0,9,12)

Garis EH: E=(0,0,12), H=(0,9,12).
Ini juga salah penamaan balok standar. Biasanya AB adalah panjang, BC adalah lebar, dan AE atau BF atau CG adalah tinggi.

Mari kita asumsikan:
Panjang AB = 8 cm
Lebar BC = 9 cm
Tinggi AE = 12 cm (Ini berarti CG = 12 cm juga).

Koordinat titik:
A = (0, 0, 0)
B = (8, 0, 0)
C = (8, 9, 0)
D = (0, 9, 0)
E = (0, 0, 12)
F = (8, 0, 12)
G = (8, 9, 12)
H = (0, 9, 12)

Garis EH:
E = (0, 0, 12)
H = (0, 9, 12)

Bidang AKLD:
Titik A = (0, 0, 0)
Titik K di tengah BF. F=(8,0,12), B=(8,0,0). K = (8, 0, 6).
Titik L di tengah CG. C=(8,9,0), G=(8,9,12). L = (8, 9, 6).
Titik D = (0, 9, 0).

Bidang AKLD dibentuk oleh titik A(0,0,0), K(8,0,6), L(8,9,6), D(0,9,0).

Perhatikan bahwa garis EH memiliki koordinat x=0, y bervariasi dari 0 ke 9, dan z=12.

Sekarang kita perlu mencari persamaan bidang AKLD.
Kita bisa menggunakan vektor normal.
Vektor AD = D - A = (0, 9, 0)
Vektor AK = K - A = (8, 0, 6)
Vektor AL = L - A = (8, 9, 6)
Vektor DL = L - D = (0, 0, 6)
Vektor DK = K - D = (8, -9, 6)

Cari vektor normal bidang AKLD dengan cross product dari dua vektor yang berada di bidang tersebut, misalnya AD dan AK.
Vektor normal N = AD x AK
N = (0, 9, 0) x (8, 0, 6)
N = | i   j   k |
    | 0   9   0 |
    | 8   0   6 |

N = i(9*6 - 0*0) - j(0*6 - 0*8) + k(0*0 - 9*8)
N = i(54) - j(0) + k(-72)
N = (54, 0, -72)
Kita bisa sederhanakan vektor normal ini dengan membaginya dengan 18: N = (3, 0, -4).

Persamaan bidang AKLD dengan normal N=(3,0,-4) dan melalui titik A(0,0,0) adalah:
3(x - 0) + 0(y - 0) - 4(z - 0) = 0
3x - 4z = 0

Sekarang kita perlu mencari jarak dari garis EH ke bidang AKLD.
Karena garis EH sejajar dengan sumbu y (vektor arah EH = H - E = (0, 9, 0)), dan bidang AKLD tidak sejajar dengan sumbu y (normalnya (3,0,-4)), maka jarak garis ke bidang adalah jarak dari setiap titik pada garis EH ke bidang AKLD.

Mari kita ambil titik E(0,0,12) pada garis EH.
Jarak titik (x0, y0, z0) ke bidang Ax + By + Cz + D = 0 adalah:
d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)

Untuk bidang 3x - 4z = 0, maka A=3, B=0, C=-4, D=0.
Titik E(x0, y0, z0) = (0, 0, 12).

d = |3(0) + 0(0) - 4(12) + 0| / sqrt(3^2 + 0^2 + (-4)^2)
d = |0 + 0 - 48 + 0| / sqrt(9 + 0 + 16)
d = |-48| / sqrt(25)
d = 48 / 5
d = 9.6

Mari kita periksa dengan titik H(0,9,12).

d = |3(0) + 0(9) - 4(12) + 0| / sqrt(3^2 + 0^2 + (-4)^2)
d = |0 + 0 - 48 + 0| / sqrt(25)
d = |-48| / 5
d = 48 / 5
d = 9.6

Jarak garis EH terhadap bidang AKLD adalah 9.6 cm.

Perlu diperhatikan asumsi penamaan balok dan posisi titik K dan L.
Jika AB=8, BC=9, CG=12 adalah panjang, lebar, tinggi.
Dan K di tengah BF, L di tengah CG.

A=(0,0,0)
B=(8,0,0)
C=(8,9,0)
D=(0,9,0)
E=(0,0,12)
F=(8,0,12)
G=(8,9,12)
H=(0,9,12)

K di tengah BF: B=(8,0,0), F=(8,0,12) => K = (8, 0, 6)
L di tengah CG: C=(8,9,0), G=(8,9,12) => L = (8, 9, 6)

Garis EH: E=(0,0,12), H=(0,9,12).

Bidang AKLD: A=(0,0,0), K=(8,0,6), L=(8,9,6), D=(0,9,0).

Vektor AD = (0,9,0)
Vektor AK = (8,0,6)
Vektor DL = (0,0,6)
Vektor AL = (8,9,6)

Normal bidang = AD x AK = (54, 0, -72). Sederhanakan menjadi (3, 0, -4).
Persamaan bidang: 3x - 4z = 0.

Garis EH adalah garis sejajar sumbu y, dengan x=0 dan z=12.
Setiap titik pada garis EH memiliki bentuk (0, y, 12) dimana 0 <= y <= 9.

Jarak dari titik (0, y, 12) ke bidang 3x - 4z = 0 adalah:
d = |3(0) + 0(y) - 4(12)| / sqrt(3^2 + 0^2 + (-4)^2)
d = |-48| / sqrt(9 + 16)
d = 48 / sqrt(25)
d = 48 / 5
d = 9.6 cm.

Jika K dan L terletak di tengah rusuk BC dan CD misalnya, maka bidangnya berbeda.
Asumsi soal sudah tepat.

Jawaban: Jarak garis EH terhadap bidang AKLD adalah 9.6 cm.