Limas beraturan T.ABCD dengan panjang rusuk alas 6 cm dan

(3√7)/8

Pembahasan

Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan rusuk alas AB = BC = CD = DA = 6 cm, dan rusuk tegak TA = TB = TC = TD = 9 cm.
Kita ingin mencari sinus sudut antara bidang TAB dan bidang ABC.

Bidang alas adalah ABC, dan bidang sisi tegak adalah TAB.
Titik potong kedua bidang adalah garis AB.

Untuk mencari sudut antara dua bidang, kita ambil satu titik pada garis potong (misalnya titik A atau B), lalu tarik garis tegak lurus terhadap garis potong di kedua bidang tersebut.

Mari kita proyeksikan titik T ke bidang alas di titik O (pusat persegi ABCD). Segitiga TOA adalah segitiga siku-siku di O.
Panjang AO = 1/2 * diagonal AC. Diagonal AC = sqrt(AB^2 + BC^2) = sqrt(6^2 + 6^2) = sqrt(36 + 36) = sqrt(72) = 6*sqrt(2).
Maka, AO = 3*sqrt(2).

Dalam segitiga siku-siku TOA:
TO^2 = TA^2 - AO^2 = 9^2 - (3*sqrt(2))^2 = 81 - 18 = 63.
TO = sqrt(63) = 3*sqrt(7) cm.

Sekarang, kita perlu mencari garis yang tegak lurus AB di bidang TAB dan ABC.
Di bidang ABC, garis yang tegak lurus AB dan melalui titik tengah AB adalah garis yang sejajar AD atau BC. Kita bisa gunakan titik P sebagai titik tengah AB. Maka, DP tegak lurus AB.
Di bidang TAB, karena TAB adalah segitiga sama kaki (TA=TB), garis tinggi dari T ke AB akan tegak lurus AB. Misalkan titik tengah AB adalah P. Maka, TP tegak lurus AB.

Sudut antara bidang TAB dan ABC adalah sudut antara garis TP dan DP, yaitu sudut TPD.

Perhatikan segitiga TPD. Kita perlu panjang TP, PD, dan TD.
TP adalah tinggi segitiga sama kaki TAB. Dalam segitiga siku-siku TPA:
TP^2 = TA^2 - AP^2 = 9^2 - (6/2)^2 = 81 - 3^2 = 81 - 9 = 72.
TP = sqrt(72) = 6*sqrt(2) cm.

PD adalah setengah dari panjang diagonal BD. Karena ABCD adalah persegi, BD = AC = 6*sqrt(2). Jadi, PD = 3*sqrt(2) cm.

TD = 9 cm (rusuk tegak).

Sekarang kita gunakan aturan kosinus pada segitiga TPD untuk mencari sudut TPD (misalkan sudut ini adalah alpha):
TD^2 = TP^2 + PD^2 - 2 * TP * PD * cos(alpha)
9^2 = (6*sqrt(2))^2 + (3*sqrt(2))^2 - 2 * (6*sqrt(2)) * (3*sqrt(2)) * cos(alpha)
81 = 72 + 18 - 2 * 18 * 2 * cos(alpha)
81 = 90 - 72 * cos(alpha)
72 * cos(alpha) = 90 - 81
72 * cos(alpha) = 9
cos(alpha) = 9 / 72 = 1/8.

Untuk mencari sinus sudut alpha, kita gunakan identitas sin^2(alpha) + cos^2(alpha) = 1:
sin^2(alpha) = 1 - cos^2(alpha) = 1 - (1/8)^2 = 1 - 1/64 = 63/64.
sin(alpha) = sqrt(63/64) = sqrt(63) / sqrt(64) = (3*sqrt(7)) / 8.

Nilai sinus sudut antara bidang TAB dan ABC adalah (3*sqrt(7))/8.