Banyak akar real dari persamaan x^4-x-3x^2+4x-4=0 adalah

2

Pembahasan

Untuk menentukan banyak akar real dari persamaan polinomial x⁴ - x - 3x² + 4x - 4 = 0, kita dapat menggunakan Teorema Sisa atau mencoba mencari akar-akar rasional terlebih dahulu.

Persamaan: P(x) = x⁴ - 3x² + 3x - 4 = 0

Mari kita coba mencari akar rasional menggunakan Teorema Keterbagian. Faktor dari konstanta -4 adalah ±1, ±2, ±4. Faktor dari koefisien utama (1) adalah ±1.

Coba x = 1: P(1) = 1⁴ - 3(1)² + 3(1) - 4 = 1 - 3 + 3 - 4 = -3 ≠ 0
Coba x = -1: P(-1) = (-1)⁴ - 3(-1)² + 3(-1) - 4 = 1 - 3 - 3 - 4 = -9 ≠ 0
Coba x = 2: P(2) = 2⁴ - 3(2)² + 3(2) - 4 = 16 - 3(4) + 6 - 4 = 16 - 12 + 6 - 4 = 6 ≠ 0
Coba x = -2: P(-2) = (-2)⁴ - 3(-2)² + 3(-2) - 4 = 16 - 3(4) - 6 - 4 = 16 - 12 - 6 - 4 = -6 ≠ 0

Sepertinya tidak ada akar rasional yang mudah ditemukan.
Mari kita perhatikan kembali soalnya, mungkin ada kesalahan pengetikan atau persamaan tersebut memang memiliki akar yang lebih kompleks atau hanya dapat diselesaikan dengan metode numerik. Namun, jika kita harus mencari akar real, kita bisa mencoba mengelompokkan atau memanipulasi persamaan.

Mari kita cek kembali soalnya. Jika persamaannya adalah x^4 - x^3 - 3x^2 + 4x - 4 = 0

Coba x = 1: 1 - 1 - 3 + 4 - 4 = -3
Coba x = -1: 1 - (-1) - 3 - 4 - 4 = 1 + 1 - 3 - 4 - 4 = -9
Coba x = 2: 16 - 8 - 3(4) + 4(2) - 4 = 16 - 8 - 12 + 8 - 4 = 0. Jadi x=2 adalah akar.
Coba x = -2: 16 - (-8) - 3(4) + 4(-2) - 4 = 16 + 8 - 12 - 8 - 4 = 0. Jadi x=-2 adalah akar.

Karena x=2 dan x=-2 adalah akar, maka (x-2) dan (x+2) adalah faktor, atau (x²-4) adalah faktor.
Kita bisa membagi x⁴ - x³ - 3x² + 4x - 4 dengan (x² - 4).

(x⁴ - x³ - 3x² + 4x - 4) / (x² - 4) = x² - x + 1

Maka persamaan menjadi (x² - 4)(x² - x + 1) = 0.

Dari (x² - 4) = 0, kita dapatkan x = 2 dan x = -2 (akar real).

Dari (x² - x + 1) = 0, kita cek diskriminannya (D = b² - 4ac):
D = (-1)² - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3.
Karena diskriminan negatif, maka akar-akar dari x² - x + 1 = 0 adalah akar imajiner.

Jadi, persamaan x⁴ - x³ - 3x² + 4x - 4 = 0 memiliki dua akar real, yaitu x = 2 dan x = -2.