Banyak kemungkinan dari 10 orang yang dibagi menjadi tiga

2100

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan kombinasi, yaitu menghitung banyaknya cara membagi sekelompok orang menjadi beberapa kelompok dengan ukuran tertentu.

Kita memiliki 10 orang yang akan dibagi menjadi tiga kelompok:
- Kelompok pertama: 4 orang
- Dua kelompok lainnya: masing-masing 3 orang

Langkah 1: Pilih 4 orang untuk kelompok pertama dari 10 orang.
Banyaknya cara memilih 4 orang dari 10 orang adalah menggunakan kombinasi C(n, k) = n! / (k!(n-k)!).
C(10, 4) = 10! / (4!(10-4)!) = 10! / (4!6!) = (10 * 9 * 8 * 7) / (4 * 3 * 2 * 1) = 10 * 3 * 7 = 210 cara.

Langkah 2: Pilih 3 orang untuk kelompok kedua dari sisa 6 orang.
Setelah memilih 4 orang, tersisa 10 - 4 = 6 orang.
Banyaknya cara memilih 3 orang dari 6 orang adalah:
C(6, 3) = 6! / (3!(6-3)!) = 6! / (3!3!) = (6 * 5 * 4) / (3 * 2 * 1) = 20 cara.

Langkah 3: Pilih 3 orang untuk kelompok ketiga dari sisa 3 orang.
Setelah memilih 3 orang untuk kelompok kedua, tersisa 6 - 3 = 3 orang.
Banyaknya cara memilih 3 orang dari 3 orang adalah:
C(3, 3) = 3! / (3!(3-3)!) = 3! / (3!0!) = 1 cara.

Langkah 4: Mengatasi pembagian kelompok yang ukurannya sama.
Karena ada dua kelompok yang berukuran sama (masing-masing 3 orang), urutan kedua kelompok ini tidak penting. Jika kita hanya mengalikan hasil dari langkah 1, 2, dan 3 (210 * 20 * 1 = 4200), kita akan menghitung setiap pembagian sebagai berbeda jika kelompok 3 orang ditukar tempatnya. Oleh karena itu, kita perlu membagi dengan jumlah cara untuk mengatur kelompok-kelompok yang berukuran sama. Dalam kasus ini, ada 2 kelompok berukuran 3, jadi kita membagi dengan 2!.

Total kemungkinan = (C(10, 4) * C(6, 3) * C(3, 3)) / 2!
Total kemungkinan = (210 * 20 * 1) / 2
Total kemungkinan = 4200 / 2
Total kemungkinan = 2100.

Jadi, banyak kemungkinan dari 10 orang yang dibagi menjadi tiga kelompok sehingga kelompok pertama terdiri atas 4 orang dan dua kelompok lainnya terdiri atas 3 orang adalah 2100.