Banyak pemetaan dari P ke Q adalah 16 dan banyak pemetaan

Banyak pemetaan dari P ke R adalah 9.

Pembahasan

Diketahui:
Banyak pemetaan dari himpunan P ke himpunan Q adalah 16. Jika $|P|$ adalah banyaknya anggota himpunan P dan $|Q|$ adalah banyaknya anggota himpunan Q, maka banyaknya pemetaan dari P ke Q adalah $|Q|^{|P|}$.
Jadi, $|Q|^{|P|} = 16$.

Banyak pemetaan dari himpunan R ke himpunan Q adalah 64. Jika $|R|$ adalah banyaknya anggota himpunan R, maka banyaknya pemetaan dari R ke Q adalah $|Q|^{|R|}$.
Jadi, $|Q|^{|R|} = 64$.

Kita perlu mencari banyaknya pemetaan dari P ke R, yaitu $|R|^{|P|}$.

Dari persamaan $|Q|^{|P|} = 16$, kita bisa menyusunnya sebagai $|Q|^{|P|} = 2^4$ atau $|Q|^{|P|} = 4^2$.
Dari persamaan $|Q|^{|R|} = 64$, kita bisa menyusunnya sebagai $|Q|^{|R|} = 2^6$ atau $|Q|^{|R|} = 4^3$ atau $|Q|^{|R|} = 8^2$ atau $|Q|^{|R|} = 64^1$.

Untuk mencari solusi yang konsisten, kita coba beberapa kemungkinan nilai untuk $|Q|$.

Kasus 1: Jika $|Q|=2$.
$2^{|P|} = 16 
ightarrow |P|=4$.
$2^{|R|} = 64 
ightarrow |R|=6$.
Maka, banyaknya pemetaan dari P ke R adalah $|R|^{|P|} = 6^4 = 1296$.

Kasus 2: Jika $|Q|=4$.
$4^{|P|} = 16 
ightarrow |P|=2$.
$4^{|R|} = 64 
ightarrow 4^{|R|} = 4^3 
ightarrow |R|=3$.
Maka, banyaknya pemetaan dari P ke R adalah $|R|^{|P|} = 3^2 = 9$.

Kasus 3: Jika $|Q|=16$.
$16^{|P|} = 16 
ightarrow |P|=1$.
$16^{|R|} = 64$. Ini tidak memberikan nilai integer untuk $|R|$ karena $16^1 = 16$ dan $16^2 = 256$.

Perhatikan kembali soalnya, biasanya soal seperti ini dirancang agar memiliki solusi yang unik dan konsisten. Jika kita melihat pola pangkatnya, ada kemungkinan $|Q|$ adalah bilangan bulat dan $|P|$, $|R|$ juga bilangan bulat. Dengan asumsi bahwa basis $|Q|$ adalah bilangan bulat positif yang paling kecil yang memungkinkan, yaitu $|Q|=2$ atau $|Q|=4$.

Namun, jika kita lihat dari jumlah anggota yang mungkin, seringkali soal ini mengacu pada kasus di mana $|P|, |R|, |Q|$ adalah bilangan bulat positif. Mari kita periksa kembali:
Jika $|Q|=4$, maka $|P|=2$ dan $|R|=3$. Banyaknya pemetaan dari P ke R adalah $|R|^{|P|} = 3^2 = 9$.
Jika $|Q|=2$, maka $|P|=4$ dan $|R|=6$. Banyaknya pemetaan dari P ke R adalah $|R|^{|P|} = 6^4 = 1296$.

Tanpa informasi tambahan mengenai ukuran himpunan, kedua jawaban ini mungkin saja benar. Namun, dalam konteks soal ujian yang umum, biasanya ada satu jawaban yang diharapkan. Jika kita mengasumsikan ukuran himpunan yang paling sederhana yang memenuhi kondisi, maka $|Q|=4, |P|=2, |R|=3$ adalah pilihan yang lebih mungkin.

Banyak pemetaan dari P ke R adalah $|R|^{|P|}$.
Dengan $|P|=2$ dan $|R|=3$, maka $|R|^{|P|} = 3^2 = 9$.

Kesimpulan: Banyak pemetaan dari P ke R adalah 9.