Nilai lim x mendekati tak hingga (akar(4x^2-6x)-(2x+1))=

-5/2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan teknik manipulasi aljabar.

Limit yang diberikan adalah:
lim x→∞ (√(4x² - 6x) - (2x + 1))

Langkah 1: Kalikan dengan bentuk sekawan (conjugate) untuk menghilangkan akar kuadrat.
Bentuk sekawan dari (√(4x² - 6x) - (2x + 1)) adalah (√(4x² - 6x) + (2x + 1)).

lim x→∞ [ (√(4x² - 6x) - (2x + 1)) * (√(4x² - 6x) + (2x + 1)) / (√(4x² - 6x) + (2x + 1)) ]

Langkah 2: Gunakan identitas (a - b)(a + b) = a² - b² di pembilang.
lim x→∞ [ (4x² - 6x) - (2x + 1)² / (√(4x² - 6x) + (2x + 1)) ]

Langkah 3: Jabarkan (2x + 1)².
(2x + 1)² = (2x)² + 2(2x)(1) + 1² = 4x² + 4x + 1

lim x→∞ [ (4x² - 6x) - (4x² + 4x + 1) / (√(4x² - 6x) + (2x + 1)) ]

Langkah 4: Sederhanakan pembilang.
lim x→∞ [ 4x² - 6x - 4x² - 4x - 1 / (√(4x² - 6x) + (2x + 1)) ]
lim x→∞ [ (-10x - 1) / (√(4x² - 6x) + (2x + 1)) ]

Langkah 5: Bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi dari x di penyebut, yaitu x.
Untuk menyederhanakan penyebut, kita perlu mengeluarkan x² dari akar:
√(4x² - 6x) = √(x²(4 - 6/x)) = |x|√(4 - 6/x).
Karena x → ∞, maka |x| = x.
Jadi, penyebut menjadi: x√(4 - 6/x) + 2x + 1.

Bagi pembilang dan penyebut dengan x:
lim x→∞ [ (-10x/x - 1/x) / (x√(4 - 6/x)/x + 2x/x + 1/x) ]
lim x→∞ [ (-10 - 1/x) / (√(4 - 6/x) + 2 + 1/x) ]

Langkah 6: Substitusikan x → ∞.
Saat x → ∞, maka 1/x → 0 dan 6/x → 0.
lim x→∞ [ (-10 - 0) / (√(4 - 0) + 2 + 0) ]
lim x→∞ [ -10 / (√4 + 2) ]
lim x→∞ [ -10 / (2 + 2) ]
lim x→∞ [ -10 / 4 ]

Nilai limitnya adalah -10/4 atau -5/2.

Jadi, nilai lim x mendekati tak hingga (√(4x² - 6x) - (2x + 1)) adalah -5/2.