Diketahui barisan kejadian A1. A2, A3, ..., An Buktikan

Pernyataan tersebut benar jika kejadian-kejadian A1 hingga An saling lepas.

Pembahasan

Bukti ini berkaitan dengan sifat aditivitas ukuran probabilitas, khususnya untuk kejadian-kejadian yang saling lepas (disjoint).

Jika A1, A2, A3, ..., An adalah barisan kejadian yang saling lepas (artinya, irisan dari dua kejadian berbeda adalah himpunan kosong, yaitu Ai ∩ Aj = ∅ untuk i ≠ j), maka probabilitas gabungannya adalah jumlah dari probabilitas masing-masing kejadian.

Secara formal, jika Ai ∩ Aj = ∅ untuk i ≠ j, maka:
P(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An)

Dalam notasi sigma, ini ditulis sebagai:
P ( sigma n = 1 m Ai) = sigma n = 1 m P (Ai)

Namun, perlu dicatat bahwa pernyataan "P ( sigma n = 1 m Ai) = sigma n = 1 m P (Ai)" hanya benar jika kejadian-kejadian A1, A2, ..., Am saling lepas (mutually exclusive). Jika kejadian-kejadian tersebut tidak saling lepas, maka rumus yang benar adalah:
P(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ Am) = Σ P(Ai) - Σ P(Ai ∩ Aj) + Σ P(Ai ∩ Aj ∩ Ak) - ...

Jadi, pembuktiannya bergantung pada asumsi bahwa kejadian-kejadian tersebut saling lepas.