Batas-batas dari a agar persamaan kuadrat

Batas-batas a adalah -1 < a < 2.

Pembahasan

Untuk menentukan batas-batas nilai 'a' agar persamaan kuadrat \(x^2 - (2+2a)x + 3a+3 = 0\) mempunyai akar-akar tidak real, kita perlu menggunakan diskriminan (D).

Sebuah persamaan kuadrat \(ax^2 + bx + c = 0\) mempunyai akar-akar tidak real jika diskriminannya (D) kurang dari nol (D < 0).

Diskriminan dihitung dengan rumus: \(D = b^2 - 4ac\).

Dalam persamaan \(x^2 - (2+2a)x + 3a+3 = 0\):
*   \(a_{persamaan} = 1\) (koefisien dari \(x^2\))
*   \(b = -(2+2a)\) (koefisien dari x)
*   \(c = 3a+3\) (konstanta)

Sekarang, kita substitusikan nilai a, b, dan c ke dalam rumus diskriminan:
\(D = (-(2+2a))^2 - 4(1)(3a+3)\)
\(D = (2+2a)^2 - 4(3a+3)\)

Jabarkan \((2+2a)^2\):
\((2+2a)^2 = 2^2 + 2(2)(2a) + (2a)^2 = 4 + 8a + 4a^2\)

Jabarkan \(-4(3a+3)\):
\(-4(3a+3) = -12a - 12\)

Jadi, diskriminan menjadi:
\(D = (4 + 8a + 4a^2) + (-12a - 12)\)
\(D = 4a^2 + 8a - 12a + 4 - 12\)
\(D = 4a^2 - 4a - 8\)

Agar akar-akarnya tidak real, maka \(D < 0\):
\(4a^2 - 4a - 8 < 0\)

Kita bisa menyederhanakan pertidaksamaan ini dengan membagi semua suku dengan 4:
\(a^2 - a - 2 < 0\)

Sekarang, kita cari akar-akar dari persamaan \(a^2 - a - 2 = 0\) untuk menentukan intervalnya. Kita bisa memfaktorkan persamaan kuadrat ini:
\((a - 2)(a + 1) = 0\)

Akar-akarnya adalah \(a = 2\) dan \(a = -1\).

Karena pertidaksamaannya adalah \(a^2 - a - 2 < 0\) (kurang dari nol), maka nilai 'a' berada di antara kedua akar tersebut.

Jadi, batas-batas dari 'a' agar persamaan kuadrat tersebut mempunyai akar-akar tidak real adalah \(-1 < a < 2\).