Batas-batas nilai x yang memenuhi 3log(5x-2)>5log(2x+7)

Penyelesaian analitik tidak langsung dengan basis berbeda.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma ${ }^{3} \log (5x-2) > { }^{5} \log (2x+7)$, kita perlu menggunakan sifat-sifat logaritma dan mempertimbangkan domain dari fungsi logaritma.

Domain:
Agar logaritma terdefinisi, argumennya harus positif.
1. $5x - 2 > 0 \Rightarrow 5x > 2 \Rightarrow x > 2/5$
2. $2x + 7 > 0 \Rightarrow 2x > -7 \Rightarrow x > -7/2$

Kombinasi kedua domain tersebut adalah $x > 2/5$.

Penyelesaian Pertidaksamaan:
Karena basis logaritma berbeda (3 dan 5), kita perlu menyamakan basisnya atau menggunakan perubahan basis. Namun, cara yang lebih umum untuk soal seperti ini adalah dengan memahami bahwa untuk $a > 1$, fungsi ${ }^{a} \log(y)$ bersifat monoton naik. Ini berarti jika ${ }^{a} \log(y_1) > { }^{a} \log(y_2)$, maka $y_1 > y_2$.

Pertidaksamaan yang diberikan adalah ${ }^{3} \log (5x-2) > { }^{5} \log (2x+7)$.
Ini adalah bentuk ${ }^{a} \log(f(x)) > { }^{b} \log(g(x))$ dengan $a \neq b$. Pertidaksamaan semacam ini biasanya tidak dapat diselesaikan secara aljabar langsung tanpa bantuan numerik atau jika ada hubungan khusus antar basis dan argumen yang tidak terlihat di sini.

Namun, jika soal ini dimaksudkan untuk menguji pemahaman dasar tentang logaritma atau jika ada kesalahan pengetikan dalam soal (misalnya, basis seharusnya sama), penyelesaiannya akan berbeda. 

Dengan basis yang berbeda, penyelesaian analitik yang sederhana tidak mungkin dilakukan. Soal ini kemungkinan besar memerlukan metode numerik atau pemahaman bahwa salah satu sisi pertidaksamaan akan tumbuh lebih cepat dari yang lain.

Jika kita mengasumsikan ada kesalahan ketik dan basisnya sama, misalnya ${ }^{3} \log (5x-2) > { }^{3} \log (2x+7)$, maka penyelesaiannya adalah:
$5x - 2 > 2x + 7$
$3x > 9$
$x > 3$

Dengan menggabungkan dengan domain $x > 2/5$, maka solusi $x > 3$.

Namun, berdasarkan soal asli dengan basis yang berbeda, tidak ada solusi aljabar sederhana yang dapat diberikan tanpa metode numerik atau asumsi tambahan. Jika ini adalah soal pilihan ganda, Anda bisa mencoba pilihan yang ada untuk melihat mana yang memenuhi kedua sisi pertidaksamaan.