Buktikanlah: (cotan theta)/(1+tan(-theta))+(tan

Identitas terbukti dengan menyederhanakan sisi kiri menggunakan identitas tan(-x) = -tan(x), cot(-x) = -cot(x), dan selisih kubik.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas trigonometri (cotan theta)/(1+tan(-theta))+(tan theta)/(1+cotan(-theta))=cotan theta+tan theta+1, kita akan menyederhanakan sisi kiri persamaan.

Kita tahu bahwa tan(-theta) = -tan theta dan cotan(-theta) = -cotan theta.

Substitusikan identitas ini ke dalam persamaan:
Sisi Kiri = (cotan theta) / (1 + (-tan theta)) + (tan theta) / (1 + (-cotan theta))
Sisi Kiri = (cotan theta) / (1 - tan theta) + (tan theta) / (1 - cotan theta)

Sekarang, ubah cotan menjadi 1/tan:
Sisi Kiri = ((1/tan theta)) / (1 - tan theta) + (tan theta) / (1 - (1/tan theta))
Sisi Kiri = 1 / (tan theta * (1 - tan theta)) + (tan theta) / ((tan theta - 1) / tan theta)
Sisi Kiri = 1 / (tan theta - tan^2 theta) + (tan^2 theta) / (tan theta - 1)

Untuk menyamakan penyebut, kita bisa memanipulasi suku kedua agar memiliki bentuk (1 - tan theta):
Sisi Kiri = 1 / (tan theta * (1 - tan theta)) - (tan^2 theta) / (1 - tan theta)

Sekarang, samakan penyebutnya menjadi tan theta * (1 - tan theta):
Sisi Kiri = 1 / (tan theta * (1 - tan theta)) - (tan^2 theta * tan theta) / (tan theta * (1 - tan theta))
Sisi Kiri = (1 - tan^3 theta) / (tan theta * (1 - tan theta))

Kita bisa menggunakan identitas selisih kubik: a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2).
Dalam kasus ini, a = tan theta dan b = 1.
Jadi, 1 - tan^3 theta = (1 - tan theta)(1 + tan theta + tan^2 theta).

Sisi Kiri = [(1 - tan theta)(1 + tan theta + tan^2 theta)] / (tan theta * (1 - tan theta))

Batalkan (1 - tan theta) dari pembilang dan penyebut (dengan asumsi tan theta != 1):
Sisi Kiri = (1 + tan theta + tan^2 theta) / tan theta

Pisahkan suku-sukunya:
Sisi Kiri = 1/tan theta + tan theta/tan theta + tan^2 theta/tan theta
Sisi Kiri = cotan theta + 1 + tan theta
Sisi Kiri = cotan theta + tan theta + 1

Ini sama dengan sisi kanan persamaan. Dengan demikian, identitas terbukti.