Bayangan titik (8,-6) oleh rotasi R[O(0,0),2/3 pi] adalah

($-4 + 3\sqrt{3}$, $3 + 4\sqrt{3}$)

Pembahasan

Untuk mencari bayangan titik $(8, -6)$ oleh rotasi $R[O(0,0), \frac{2}{3}\pi]$, kita menggunakan rumus transformasi rotasi matriks untuk titik $(x, y)$ di sekitar titik asal $(0,0)$ dengan sudut rotasi $\theta$. 

Rumus rotasi adalah:
$x' = x \cos \theta - y \sin \theta$
$y' = x \sin \theta + y \cos \theta$

Dalam kasus ini, titiknya adalah $(x, y) = (8, -6)$ dan sudut rotasinya adalah $\theta = \frac{2}{3}\pi$ radian.

Kita perlu menghitung nilai $\cos(\frac{2}{3}\pi)$ dan $\sin(\frac{2}{3}\pi)$.
Sudut $\frac{2}{3}\pi$ radian sama dengan $\frac{2}{3} \times 180^{\circ} = 120^{\circ}$. Sudut ini berada di kuadran II.

Di kuadran II:
$\, \cos(\frac{2}{3}\pi) = \cos(120^{\circ}) = -\cos(180^{\circ} - 120^{\circ}) = -\cos(60^{\circ}) = -\frac{1}{2}$
$\, \sin(\frac{2}{3}\pi) = \sin(120^{\circ}) = \sin(180^{\circ} - 120^{\circ}) = \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Sekarang, substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus rotasi:

$x' = 8 \times \cos(\frac{2}{3}\pi) - (-6) \times \sin(\frac{2}{3}\pi)$
$x' = 8 \times (-\frac{1}{2}) + 6 \times (\frac{\sqrt{3}}{2})$
$x' = -4 + 3\sqrt{3}$

$y' = 8 \times \sin(\frac{2}{3}\pi) + (-6) \times \cos(\frac{2}{3}\pi)$
$y' = 8 \times (\frac{\sqrt{3}}{2}) - 6 \times (-\frac{1}{2})$
$y' = 4\sqrt{3} + 3$

Jadi, bayangan titik $(8, -6)$ oleh rotasi $R[O(0,0), \frac{2}{3}\pi]$ adalah titik $(x', y') = (-4 + 3\sqrt{3}, 3 + 4\sqrt{3})$.