Tentukan nilai limit berikut. lim x -> 16

136

Pembahasan

Untuk menentukan nilai limit $\lim_{x \to 16} \frac{x^2 - 15x - 16}{\sqrt{x} - 4}$, kita pertama-tama mencoba substitusi langsung. Jika kita substitusikan x=16, pembilangnya menjadi $16^2 - 15(16) - 16 = 256 - 240 - 16 = 0$, dan penyebutnya menjadi $\sqrt{16} - 4 = 4 - 4 = 0$. Karena hasilnya adalah bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$, kita perlu menggunakan metode lain, seperti mengalikan dengan konjugat penyebut atau memfaktorkan. 

Metode konjugat:
Kalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat dari penyebut, yaitu $\sqrt{x} + 4$:
$$ \lim_{x \to 16} \frac{x^2 - 15x - 16}{\sqrt{x} - 4} \times \frac{\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} + 4} $$ 
$$ = \lim_{x \to 16} \frac{(x^2 - 15x - 16)(\sqrt{x} + 4)}{x - 16} $$ 
Sekarang, faktorkan pembilangnya $x^2 - 15x - 16$. Kita cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan -16 dan jika dijumlahkan menghasilkan -15. Bilangan tersebut adalah -16 dan 1. Jadi, $x^2 - 15x - 16 = (x-16)(x+1)$.
$$ = \lim_{x \to 16} \frac{(x-16)(x+1)(\sqrt{x} + 4)}{x - 16} $$ 
Kita bisa membatalkan $(x-16)$ karena $x \neq 16$:
$$ = \lim_{x \to 16} (x+1)(\sqrt{x} + 4) $$ 
Sekarang substitusikan kembali $x=16$:
$$ = (16+1)(\sqrt{16} + 4) = (17)(4 + 4) = 17 \times 8 = 136 $$ 
Jadi, nilai limitnya adalah 136.