Bentuk sederhana dari (2^(1/2) - 2 3^(1/2) )(2^(1/2) + 2

-5√2 - (10/3)√3

Pembahasan

Untuk menyederhanakan ekspresi $(2^{1/2} - 2 \cdot 3^{1/2} )(2^{1/2} + 2 \cdot 3^{1/2} ) / (3 \cdot 2^{1/2} - 2 \cdot 3^{1/2} )$, kita dapat menggunakan sifat-sifat aljabar dan eksponen.
Pertama, kita sederhanakan bagian pembilang menggunakan rumus selisih kuadrat $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
Misalkan $a = 2^{1/2}$ dan $b = 2 \cdot 3^{1/2}$. Maka:
$(2^{1/2} - 2 \cdot 3^{1/2} )(2^{1/2} + 2 \cdot 3^{1/2} ) = (2^{1/2})^2 - (2 \cdot 3^{1/2})^2$
$= 2 - (2^2 \cdot (3^{1/2})^2)$
$= 2 - (4 \cdot 3)$
$= 2 - 12$
$= -10$
Sekarang, kita memiliki ekspresi $-10 / (3 \cdot 2^{1/2} - 2 \cdot 3^{1/2} )$.
Untuk menyederhanakan lebih lanjut, kita dapat merasionalkan penyebutnya dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat dari penyebut, yaitu $(3 \cdot 2^{1/2} + 2 \cdot 3^{1/2})$.
Namun, ekspresi asli tampaknya memiliki format yang memungkinkan penyederhanaan lebih lanjut jika ada kesalahan ketik atau jika tujuannya adalah menggunakan selisih kuadrat pada kedua bagian. Jika kita mengasumsikan bentuknya seperti yang tertulis:
$-10 / (3 \cdot 2^{1/2} - 2 \cdot 3^{1/2} )$ 
Kita kalikan pembilang dan penyebut dengan $(3 \cdot 2^{1/2} + 2 \cdot 3^{1/2})$:
$= -10 (3 \cdot 2^{1/2} + 2 \cdot 3^{1/2}) / ((3 \cdot 2^{1/2})^2 - (2 \cdot 3^{1/2})^2)$
$= -10 (3 \cdot 2^{1/2} + 2 \cdot 3^{1/2}) / (9 \cdot 2 - 4 \cdot 3)$
$= -10 (3 \cdot 2^{1/2} + 2 \cdot 3^{1/2}) / (18 - 12)$
$= -10 (3 \cdot 2^{1/2} + 2 \cdot 3^{1/2}) / 6$
$= -5/3 (3 \cdot 2^{1/2} + 2 \cdot 3^{1/2})$
$= -5 \cdot 2^{1/2} - (10/3) \cdot 3^{1/2}$
Jika ada kemungkinan kesalahan dalam soal dan bentuknya dimaksudkan agar penyebut juga menggunakan pola yang sama, misalnya $(2 \cdot 2^{1/2} - 2 \cdot 3^{1/2})$, maka penyederhanaannya akan berbeda. Namun, berdasarkan soal yang diberikan, hasil penyederhanaannya adalah $-5 \cdot 2^{1/2} - (10/3) \cdot 3^{1/2}$.
Jika kita perhatikan kembali soalnya, format $(a-b)(a+b)$ ada di pembilang. Jika penyebutnya juga merupakan selisih dari dua suku yang sama, misalnya $(2 \cdot 2^{1/2} - 2 \cdot 3^{1/2})$, maka ada kemungkinan penyederhanaan lebih lanjut. Namun, dengan penyebut yang diberikan $(3 \cdot 2^{1/2} - 2 \cdot 3^{1/2})$, hasil yang didapat adalah seperti di atas.