Berapa hasil kali a dan b yang memenuhi persamaan lim x->4

Hasil kali a dan b adalah 6.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menggunakan konsep limit fungsi. Diketahui persamaan \lim_{x \to 4} \frac{x - \sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - a} = b, dengan b \neq 0.

Ketika x mendekati 4, pembilang (x - \sqrt{x} - 2) mendekati 4 - \sqrt{4} - 2 = 4 - 2 - 2 = 0. Agar limitnya tidak bernilai tak hingga (karena b \neq 0), penyebut juga harus mendekati 0 ketika x mendekati 4.

Maka, \sqrt{4} - a = 0 \implies 2 - a = 0 \implies a = 2.

Sekarang kita substitusikan a = 2 ke dalam persamaan limit:
\lim_{x \to 4} \frac{x - \sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 2}

Karena bentuknya masih \frac{0}{0}, kita bisa menggunakan aturan L'Hopital atau memfaktorkan.

Menggunakan pemfaktoran:
Misalkan y = \sqrt{x}, maka x = y^2. Ketika x \to 4, maka y \to 2.
Persamaan menjadi:
\lim_{y \to 2} \frac{y^2 - y - 2}{y - 2}

Faktorkan pembilang: y^2 - y - 2 = (y - 2)(y + 1).

\lim_{y \to 2} \frac{(y - 2)(y + 1)}{y - 2}

Coret (y - 2):
\lim_{y \to 2} (y + 1)

Substitusikan y = 2:
2 + 1 = 3.

Jadi, nilai limitnya adalah 3. Diketahui nilai limit tersebut adalah b, maka b = 3.

Hasil kali a dan b adalah a \times b = 2 \times 3 = 6.