Jika f(x)=3x^2 tan(2x), maka f'(pi/2)=...

f'(π/2) = (3π^2)/2

Pembahasan

Kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi f(x) = 3x^2 tan(2x) dan kemudian mengevaluasinya pada x = π/2.

Untuk mencari turunan f(x), kita akan menggunakan aturan perkalian (product rule) dan aturan rantai (chain rule).
Aturan Perkalian: (uv)' = u'v + uv'
Misalkan u = 3x^2 dan v = tan(2x).

Mencari turunan u:
u' = d/dx (3x^2) = 6x.

Mencari turunan v:
Untuk v = tan(2x), kita gunakan aturan rantai. Misalkan w = 2x, maka v = tan(w).
dv/dx = dv/dw * dw/dx
dv/dw = d/dw (tan(w)) = sec^2(w) = sec^2(2x).
dw/dx = d/dx (2x) = 2.
Jadi, v' = sec^2(2x) * 2 = 2 sec^2(2x).

Menerapkan aturan perkalian:
f'(x) = u'v + uv'
f'(x) = (6x)(tan(2x)) + (3x^2)(2 sec^2(2x))
f'(x) = 6x tan(2x) + 6x^2 sec^2(2x).

Sekarang, kita evaluasi f'(x) pada x = π/2:
f'(π/2) = 6(π/2) tan(2 * π/2) + 6(π/2)^2 sec^2(2 * π/2)
f'(π/2) = 3π tan(π) + 6(π^2/4) sec^2(π)

Kita tahu bahwa:
tan(π) = 0
sec(π) = 1/cos(π) = 1/(-1) = -1.
Jadi, sec^2(π) = (-1)^2 = 1.

Mengganti nilai-nilai ini ke dalam persamaan f'(π/2):
f'(π/2) = 3π (0) + 6(π^2/4) (1)
f'(π/2) = 0 + (6π^2)/4
f'(π/2) = (3π^2)/2.

Jadi, nilai f'(π/2) adalah (3π^2)/2.