Bila 775/121 = a + 1/(b + 1/(c + 1/(d + 1/(e + 1/(e +

19

Pembahasan

Kita diberikan ekspresi dalam bentuk pecahan berlanjut:
775/121 = a + 1/(b + 1/(c + 1/(d + 1/(e + 1/(e + 1/f))))) 
untuk suatu a, b, c, d, e, f bilangan bulat.
Kita perlu mencari nilai a + b + c + d + e + f.

Metode yang digunakan adalah algoritma pembagian berulang (mirip dengan Algoritma Euclidean).

Langkah 1: Bagi 775 oleh 121.
775 = 6 * 121 + 49
Jadi, a = 6.

Sekarang kita memiliki:
49/121 = 1/(b + 1/(c + 1/(d + 1/(e + 1/(e + 1/f))))) 
Ini berarti:
121/49 = b + 1/(c + 1/(d + 1/(e + 1/(e + 1/f)))))

Langkah 2: Bagi 121 oleh 49.
121 = 2 * 49 + 23
Jadi, b = 2.

Sekarang kita memiliki:
23/49 = 1/(c + 1/(d + 1/(e + 1/(e + 1/f)))))
Ini berarti:
49/23 = c + 1/(d + 1/(e + 1/(e + 1/f))))

Langkah 3: Bagi 49 oleh 23.
49 = 2 * 23 + 3
Jadi, c = 2.

Sekarang kita memiliki:
3/23 = 1/(d + 1/(e + 1/(e + 1/f))))
Ini berarti:
23/3 = d + 1/(e + 1/(e + 1/f))))

Langkah 4: Bagi 23 oleh 3.
23 = 7 * 3 + 2
Jadi, d = 7.

Sekarang kita memiliki:
2/3 = 1/(e + 1/(e + 1/f)))
Ini berarti:
3/2 = e + 1/(e + 1/f))

Langkah 5: Bagi 3 oleh 2.
3 = 1 * 2 + 1
Jadi, e = 1.

Sekarang kita memiliki:
1/2 = 1/(e + 1/f))
Ini berarti:
2 = e + 1/f

Kita tahu bahwa e = 1. Jadi:
2 = 1 + 1/f
1 = 1/f
Jadi, f = 1.

Kita telah menemukan nilai-nilai a, b, c, d, e, dan f:
a = 6
b = 2
c = 2
d = 7
e = 1
f = 1

Semua nilai adalah bilangan bulat, sesuai dengan syarat soal.

Sekarang kita hitung jumlahnya: a + b + c + d + e + f
= 6 + 2 + 2 + 7 + 1 + 1
= 19.

Perhatikan bahwa ada pengulangan 'e' dalam ekspresi: e + 1/(e + 1/f)).
Ini berarti kita perlu sedikit hati-hati di langkah terakhir.

Kita mendapatkan 3/2 = e + 1/(e + 1/f)).
Karena e adalah bilangan bulat, kita cari bagian bulat dari 3/2, yaitu 1.
Jadi, e = 1.

Sisa pecahannya adalah 1/2.
1/2 = 1/(e + 1/f))
Ini berarti 2 = e + 1/f.
Karena e = 1, maka 2 = 1 + 1/f.
1 = 1/f, sehingga f = 1.

Nilai-nilai tersebut adalah a=6, b=2, c=2, d=7, e=1, f=1.
Jumlahnya adalah 6 + 2 + 2 + 7 + 1 + 1 = 19.