Bila (x + 1)^n dijabarkan (pangkat x semakin menurun)

n = 16

Pembahasan

Untuk menentukan nilai n, kita akan menggunakan sifat koefisien binomial dalam penjabaran (x + 1)^n. Tiga suku berurutan dalam penjabaran tersebut memiliki koefisien yang perbandingannya adalah 2 : 15 : 70.

Dalam penjabaran (x + 1)^n, suku ke-(k+1) adalah C(n, k) * x^(n-k) * 1^k = C(n, k) * x^(n-k).

Misalkan tiga suku berurutan tersebut adalah suku ke-k, suku ke-(k+1), dan suku ke-(k+2). Koefisiennya adalah C(n, k-1), C(n, k), dan C(n, k+1).

Kita memiliki perbandingan:
C(n, k-1) : C(n, k) = 2 : 15
C(n, k) : C(n, k+1) = 15 : 70

Menggunakan rumus C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!):

Perbandingan pertama:
[n! / ((k-1)! * (n-k+1)!)] / [n! / (k! * (n-k)!)] = 2/15
k! * (n-k)! / ((k-1)! * (n-k+1)!) = 2/15
k / (n-k+1) = 2/15
15k = 2(n-k+1)
15k = 2n - 2k + 2
17k - 2n = 2  (Persamaan 1)

Perbandingan kedua:
[n! / (k! * (n-k)!)] / [n! / ((k+1)! * (n-k-1)!)] = 15/70 = 3/14
(k+1)! * (n-k-1)! / (k! * (n-k)!) = 3/14
(k+1) / (n-k) = 3/14
14(k+1) = 3(n-k)
14k + 14 = 3n - 3k
17k - 3n = -14 (Persamaan 2)

Sekarang kita punya sistem persamaan linear:
1) 17k - 2n = 2
2) 17k - 3n = -14

Kurangkan Persamaan 2 dari Persamaan 1:
(17k - 2n) - (17k - 3n) = 2 - (-14)
n = 16

Substitusikan n = 16 ke Persamaan 1:
17k - 2(16) = 2
17k - 32 = 2
17k = 34
k = 2

Jadi, nilai n adalah 16.