Pada gambar berikut, diketahui vektor OP=a, vektor

Terbukti OR=(2m-3)a+(3+2m)b=(1+n)a+2nb dengan m=11/2 dan n=7. Vektor OR = 8a + 14b.

Pembahasan

Untuk membuktikan OR=(2m-3)a+(3+2m)b=(1+n)a+2nb dan menentukan nilai m, n, serta vektor OR:

Diketahui:
vektor OP = a
vektor OQ = 2a + 2b
vektor OS = 3b - 3a
PQ = 1/n PR
SR = m OQ

Langkah 1: Tentukan vektor PQ dan PR.
Vektor PQ = OQ - OP = (2a + 2b) - a = a + 2b
Vektor PR = OR - OP
Kita perlu mengekspresikan OR terlebih dahulu. 

Karena SR = m OQ, maka OR - OS = m(OQ)
OR = OS + m OQ
OR = (3b - 3a) + m(2a + 2b)
OR = 3b - 3a + 2ma + 2mb
OR = (-3 + 2m)a + (3 + 2m)b

Ini sesuai dengan bentuk pertama yang diminta untuk dibuktikan, yaitu OR = (2m - 3)a + (3 + 2m)b.

Langkah 2: Gunakan informasi PQ = 1/n PR.
PR = OR - OP
PR = [(-3 + 2m)a + (3 + 2m)b] - a
PR = (-3 + 2m - 1)a + (3 + 2m)b
PR = (-4 + 2m)a + (3 + 2m)b

Sekarang, PQ = 1/n PR
a + 2b = 1/n [(-4 + 2m)a + (3 + 2m)b]
a + 2b = [(-4 + 2m)/n]a + [(3 + 2m)/n]b

Untuk kesamaan vektor, koefisien vektor a dan b harus sama di kedua sisi.

Koefisien a:
1 = (-4 + 2m) / n
n = -4 + 2m  (Persamaan 1)

Koefisien b:
2 = (3 + 2m) / n
2n = 3 + 2m  (Persamaan 2)

Langkah 3: Selesaikan sistem persamaan untuk m dan n.
Substitusikan Persamaan 1 ke Persamaan 2:
2(-4 + 2m) = 3 + 2m
-8 + 4m = 3 + 2m
4m - 2m = 3 + 8
2m = 11
m = 11/2

Substitusikan nilai m ke Persamaan 1:
n = -4 + 2(11/2)
n = -4 + 11
n = 7

Langkah 4: Periksa apakah bentuk kedua OR = (1+n)a+2nb sesuai.
OR = (1 + 7)a + 2(7)b
OR = 8a + 14b

Sekarang, mari kita gunakan nilai m = 11/2 pada bentuk OR yang pertama:
OR = (-3 + 2(11/2))a + (3 + 2(11/2))b
OR = (-3 + 11)a + (3 + 11)b
OR = 8a + 14b

Kedua bentuk memberikan hasil yang sama, sehingga pembuktian berhasil.

a. Bukti OR=(2m-3)a+(3+2m)b=(1+n)a+2nb telah dilakukan di atas.

b. Nilai m = 11/2, nilai n = 7.
Vektor OR = 8a + 14b.