Buktikan (1+1/(tan^2 theta))(1+1/(cotan^2 theta))=1/(cos^2

Identitas terbukti dengan menyederhanakan kedua sisi menggunakan identitas trigonometri dasar.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas trigonometri (1+1/(tan^2 theta))(1+1/(cotan^2 theta))=1/(cos^2 theta-cos^4 theta), kita akan menyederhanakan sisi kiri identitas.

Sisi Kiri:
(1 + 1/(tan^2 theta))(1 + 1/(cotan^2 theta))

Kita tahu bahwa 1/tan^2 theta = cotan^2 theta dan 1/cotan^2 theta = tan^2 theta.
Jadi, ekspresi menjadi:
(1 + cotan^2 theta)(1 + tan^2 theta)

Kita juga tahu identitas trigonometri:
1 + cotan^2 theta = cosec^2 theta
1 + tan^2 theta = sec^2 theta

Mengganti ini ke dalam ekspresi:
(cosec^2 theta)(sec^2 theta)

Sekarang, ubah cosec^2 theta menjadi 1/sin^2 theta dan sec^2 theta menjadi 1/cos^2 theta:
(1/sin^2 theta)(1/cos^2 theta)
= 1/(sin^2 theta * cos^2 theta)

Sekarang kita perlu menghubungkannya dengan sisi kanan, yaitu 1/(cos^2 theta - cos^4 theta).
Mari kita faktorkan penyebut sisi kanan:
cos^2 theta - cos^4 theta = cos^2 theta (1 - cos^2 theta)

Kita tahu identitas trigonometri dasar: sin^2 theta + cos^2 theta = 1, yang berarti 1 - cos^2 theta = sin^2 theta.
Jadi, penyebut sisi kanan menjadi:
cos^2 theta (sin^2 theta)

Ini sama dengan sin^2 theta * cos^2 theta.

Jadi, sisi kanan adalah 1/(sin^2 theta * cos^2 theta).

Karena sisi kiri (1/(sin^2 theta * cos^2 theta)) sama dengan sisi kanan (1/(sin^2 theta * cos^2 theta)), maka identitas tersebut terbukti benar.