Buktikan bahwa: cos (180-x)=-cos x

Menggunakan rumus pengurangan sudut cos(A-B) = cosA cosB + sinA sinB, dengan A=180° dan B=x, maka cos(180°-x) = cos180°cosx + sin180°sinx = (-1)cosx + (0)sinx = -cosx.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas trigonometri cos(180° - x) = -cos x, kita dapat menggunakan definisi lingkaran satuan atau rumus pengurangan sudut.

Metode 1: Menggunakan Lingkaran Satuan

Pada lingkaran satuan, sebuah sudut θ memiliki koordinat (cos θ, sin θ).

Sudut 180° - x berada di kuadran yang berbeda dari sudut x, tergantung pada nilai x. Namun, hubungan antara koordinatnya konsisten.

Jika kita mengambil sudut x di kuadran I, maka 180° - x akan berada di kuadran II.

Misalkan titik pada lingkaran satuan untuk sudut x adalah P(cos x, sin x).

Misalkan titik pada lingkaran satuan untuk sudut 180° - x adalah Q(cos(180° - x), sin(180° - x)).

Secara geometris, jika kita mencerminkan titik P terhadap sumbu y, kita akan mendapatkan titik Q.

Ketika sebuah titik (a, b) dicerminkan terhadap sumbu y, koordinatnya menjadi (-a, b).

Jadi, jika P = (cos x, sin x), maka Q = (-cos x, sin x).

Oleh karena itu, cos(180° - x) = -cos x dan sin(180° - x) = sin x.

Metode 2: Menggunakan Rumus Pengurangan Sudut

Rumus pengurangan sudut untuk kosinus adalah: cos(A - B) = cos A cos B + sin A sin B.

Dalam kasus ini, A = 180° dan B = x.

cos(180° - x) = cos 180° cos x + sin 180° sin x

Kita tahu bahwa:
cos 180° = -1
sin 180° = 0

Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus:
cos(180° - x) = (-1) * cos x + (0) * sin x
cos(180° - x) = -cos x + 0
cos(180° - x) = -cos x

Kedua metode membuktikan bahwa cos(180° - x) = -cos x.