Buktikan bahwa :(cosec theta)/(tan theta+cot theta)=cos

Identitas \(\frac{\csc \theta}{\tan \theta + \cot \theta} = \cos \theta\) terbukti benar dengan mengubah \(\csc \theta\), \(\tan \theta\), dan \(\cot \theta\) ke dalam \(\sin \theta\) dan \(\cos \theta\) serta menggunakan identitas \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\).

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas trigonometri \(\frac{\csc \theta}{\tan \theta + \cot \theta} = \cos \theta\), kita akan mengubah sisi kiri persamaan menjadi bentuk yang sama dengan sisi kanan.

Kita tahu bahwa:
\(\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}\)
\(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)
\(\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}\)

Mari kita ubah penyebutnya terlebih dahulu:
\(\tan \theta + \cot \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta}\)
Untuk menjumlahkan kedua pecahan tersebut, kita samakan penyebutnya menjadi \(\cos \theta \sin \theta\):
\(\tan \theta + \cot \theta = \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta \sin \theta} + \frac{\cos^2 \theta}{\cos \theta \sin \theta}\)
\(\tan \theta + \cot \theta = \frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\cos \theta \sin \theta}\)
Kita tahu identitas dasar trigonometri bahwa \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\).
Jadi, \(\tan \theta + \cot \theta = \frac{1}{\cos \theta \sin \theta}\).

Sekarang, kita substitusikan kembali ke sisi kiri persamaan awal:
\(\frac{\csc \theta}{\tan \theta + \cot \theta} = \frac{\frac{1}{\sin \theta}}{\frac{1}{\cos \theta \sin \theta}}\)
Untuk membagi dengan pecahan, kita kalikan dengan kebalikannya:
\(\frac{1}{\sin \theta} \times \frac{\cos \theta \sin \theta}{1}\)
Kita bisa membatalkan \(\sin \theta\) di pembilang dan penyebut:
\(\frac{1}{\cancel{\sin \theta}} \times \frac{\cos \theta \cancel{\sin \theta}}{1} = \cos \theta\)

Hasilnya adalah \(\cos \theta\), yang sama dengan sisi kanan persamaan. Jadi, identitas trigonometri tersebut terbukti benar.