Buktikan bahwa dalam setiap segitigaABC berlaku:

Rumus tangens dibuktikan menggunakan aturan sinus dan identitas penjumlahan/pengurangan sinus.

Pembahasan

Rumus Tangens adalah identitas trigonometri yang menghubungkan perbandingan selisih dan jumlah dua sudut dalam segitiga dengan perbandingan tangen dari setengah jumlah dan setengah selisih sudut-sudut tersebut. Rumus ini dapat dibuktikan menggunakan aturan sinus dan identitas penjumlahan sudut pada tangen.

**Pembuktian:**
Dimulai dari aturan sinus pada segitiga ABC:
a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R

Dari aturan sinus, kita dapatkan:
a = 2R sin A
b = 2R sin B

Substitusikan nilai a dan b ke dalam sisi kiri rumus tangens:
(a+b)/(a-b) = (2R sin A + 2R sin B) / (2R sin A - 2R sin B)
= (sin A + sin B) / (sin A - sin B)

Gunakan identitas penjumlahan dan pengurangan sinus:
sin A + sin B = 2 sin 1/2(A+B) cos 1/2(A-B)
sin A - sin B = 2 cos 1/2(A+B) sin 1/2(A-B)

Substitusikan kembali ke persamaan:
(a+b)/(a-b) = (2 sin 1/2(A+B) cos 1/2(A-B)) / (2 cos 1/2(A+B) sin 1/2(A-B))
= (sin 1/2(A+B) / cos 1/2(A+B)) * (cos 1/2(A-B) / sin 1/2(A-B))
= tan 1/2(A+B) * cot 1/2(A-B)
= tan 1/2(A+B) / tan 1/2(A-B)

Ini membuktikan rumus tangens.