lim x->-4 ((x+4)(x^2-4x+16))/(-x^2-x+12)=...

Hasil limit adalah 48/7.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita perlu mengevaluasi fungsi saat x mendekati -4.

Fungsi yang diberikan adalah: lim x->-4 ((x+4)(x^2-4x+16))/(-x^2-x+12)

Pertama, mari kita coba substitusi langsung x = -4 ke dalam fungsi:
Pembilang: (-4+4)((-4)^2 - 4(-4) + 16) = (0)(16 + 16 + 16) = 0 * 48 = 0
Penyebut: -(-4)^2 - (-4) + 12 = -(16) + 4 + 12 = -16 + 16 = 0

Karena kita mendapatkan bentuk tak tentu 0/0, kita perlu menyederhanakan fungsi tersebut. Perhatikan bahwa bagian (x^2 - 4x + 16) dalam pembilang adalah hasil dari penjumlahan kubik (x^3 + 4^3) / (x+4).

Ingat identitas penjumlahan kubik: a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2).
Dalam kasus ini, jika kita menganggap x^3 + 4^3, maka a=x dan b=4. Sehingga, x^3 + 4^3 = (x+4)(x^2 - 4x + 16).

Jadi, pembilang adalah x^3 + 64.

Sekarang kita faktorkan penyebutnya: -x^2 - x + 12.
Kita cari dua angka yang jika dikalikan menghasilkan -12 dan jika dijumlahkan menghasilkan -1.
Angka-angka tersebut adalah -4 dan 3.
Jadi, -x^2 - x + 12 = -(x^2 + x - 12) = -(x+4)(x-3).

Sekarang substitusikan kembali ke dalam limit:
lim x->-4 (x^3 + 64) / (-(x+4)(x-3))

Karena x^3 + 64 = (x+4)(x^2 - 4x + 16), kita bisa tulis:
lim x->-4 ((x+4)(x^2 - 4x + 16)) / (-(x+4)(x-3))

Kita bisa membatalkan faktor (x+4) karena x mendekati -4 tetapi tidak sama dengan -4:
lim x->-4 (x^2 - 4x + 16) / (-(x-3))

Sekarang substitusikan x = -4 lagi:
((-4)^2 - 4(-4) + 16) / (-(-4 - 3))
= (16 + 16 + 16) / (-(-7))
= 48 / 7

Jadi, hasil limitnya adalah 48/7.