Buktikan bahwa: (n r-1)+2(n r)+(n r+1)=(n+2 r+1)

Identitas $\binom{n}{r-1} + 2\binom{n}{r} + \binom{n}{r+1} = \binom{n+2}{r+1}$ dapat dibuktikan dengan memecah suku tengah dan menerapkan identitas Pascal $\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$ dua kali.

Pembahasan

Kita akan membuktikan identitas $\binom{n}{r-1} + 2\binom{n}{r} + \binom{n}{r+1} = \binom{n+2}{r+1}$.

Kita dapat memecah suku tengah menjadi dua:
$
\binom{n}{r-1} + \binom{n}{r} + \binom{n}{r} + \binom{n}{r+1} = 

Menggunakan identitas Pascal $\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$:

Kelompokkan suku pertama dan kedua: $\left(\binom{n}{r-1} + \binom{n}{r}\right) + \left(\binom{n}{r} + \binom{n}{r+1}\right) = 

Menerapkan identitas Pascal pada kedua kelompok:
$
\binom{n+1}{r} + \binom{n+1}{r+1} = 

Sekali lagi menerapkan identitas Pascal pada hasil di atas:
$
\binom{n+1+1}{r+1} = 

Jadi, terbukti bahwa $\binom{n}{r-1} + 2\binom{n}{r} + \binom{n}{r+1} = \binom{n+2}{r+1}$.

*Catatan: Simbol $\binom{n}{k}$ dibaca "n choose k" atau koefisien binomial, yang sama dengan $\frac{n!}{k!(n-k)!}$. Bukti ini menggunakan sifat-sifat koefisien binomial.*