Buktikan bahwa: Pn ekuivalen 1/(2x4)+1/(4x6)+. . .

Pembuktian menggunakan induksi matematika menunjukkan bahwa pernyataan tersebut benar.

Pembahasan

Untuk membuktikan Pn ekuivalen 1/(2x4)+1/(4x6)+ . . . +1/(2n)(2n+2)=n/4(n+1), kita akan menggunakan metode induksi matematika.

Langkah 1: Basis Induksi
Untuk n = 1:
Sisi kiri = 1/(2x4) = 1/8
Sisi kanan = 1 / (4(1+1)) = 1 / (4 * 2) = 1/8
Karena sisi kiri = sisi kanan, basis induksi terpenuhi.

Langkah 2: Asumsi Induksi
Asumsikan bahwa Pn berlaku untuk suatu bilangan bulat positif k, yaitu:
1/(2x4) + 1/(4x6) + . . . + 1/(2k)(2k+2) = k / (4(k+1))

Langkah 3: Langkah Induksi
Kita perlu membuktikan bahwa P(k+1) juga berlaku, yaitu:
1/(2x4) + 1/(4x6) + . . . + 1/(2k)(2k+2) + 1/(2(k+1))(2(k+1)+2) = (k+1) / (4(k+1+1))

Dari asumsi induksi, kita tahu bahwa:
1/(2x4) + 1/(4x6) + . . . + 1/(2k)(2k+2) = k / (4(k+1))

Jadi, kita hanya perlu menambahkan suku berikutnya ke sisi kiri:
k / (4(k+1)) + 1/(2(k+1))(2k+2+2)
k / (4(k+1)) + 1/(2(k+1))(2k+4)
k / (4(k+1)) + 1/(2(k+1)) * 2(k+2)
k / (4(k+1)) + 1/( (k+1)(k+2) )

Sekarang, kita samakan penyebutnya:
[k(k+2) + 4] / [4(k+1)(k+2)]
[k² + 2k + 4] / [4(k+1)(k+2)]

Sepertinya ada kesalahan dalam soal atau asumsi saya, mari kita periksa kembali suku umum.
Suku umum adalah 1 / (2n(2n+2)). Ini bisa disederhanakan menjadi 1 / (4n(n+1)).

Mari kita coba lagi dengan suku umum yang disederhanakan: 1 / (4n(n+1)).

Langkah 1: Basis Induksi
Untuk n = 1:
Sisi kiri = 1 / (4 * 1 * (1+1)) = 1 / (4 * 1 * 2) = 1/8
Sisi kanan = 1 / (4 * (1+1)) = 1 / (4 * 2) = 1/8
Basis induksi terpenuhi.

Langkah 2: Asumsi Induksi
Asumsikan Pk berlaku:
1/(4*1*2) + 1/(4*2*3) + . . . + 1/(4k(k+1)) = k / (4(k+1))

Langkah 3: Langkah Induksi
Kita perlu membuktikan P(k+1):
1/(4*1*2) + 1/(4*2*3) + . . . + 1/(4k(k+1)) + 1/(4(k+1)(k+2)) = (k+1) / (4(k+2))

Dari asumsi induksi:
k / (4(k+1)) + 1/(4(k+1)(k+2))

Samakan penyebutnya:
[k(k+2) + 1] / [4(k+1)(k+2)]
[k² + 2k + 1] / [4(k+1)(k+2)]
(k+1)² / [4(k+1)(k+2)]

Sederhanakan:
(k+1) / [4(k+2)]

Ini sesuai dengan sisi kanan P(k+1).

Jadi, terbukti bahwa Pn ekuivalen 1/(2x4)+1/(4x6)+ . . . +1/(2n)(2n+2)=n/4(n+1) adalah benar untuk semua bilangan bulat positif n.