Persamaan garis singgung pada lingkaran x^2+y^2-2x+10y-64=0

$x - 3y + 14 = 0$

Pembahasan

Untuk mencari persamaan garis singgung pada lingkaran $x^2+y^2-2x+10y-64=0$ yang melalui titik $(-2,4)$, kita perlu melakukan beberapa langkah:

1. **Cari persamaan garis kutub (polar) dari titik terhadap lingkaran.**
   Persamaan lingkaran umum adalah $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$. Dalam kasus ini, $2g = -2$, sehingga $g = -1$, dan $2f = 10$, sehingga $f = 5$, serta $c = -64$.
   Persamaan garis kutub dari titik $(x_1, y_1)$ terhadap lingkaran $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ adalah $x x_1 + y y_1 + g(x+x_1) + f(y+y_1) + c = 0$.
   Dengan titik $(-2,4)$, $g=-1$, $f=5$, dan $c=-64$, persamaan garis kutubnya adalah:
   $x(-2) + y(4) + (-1)(x+(-2)) + 5(y+4) + (-64) = 0$
   $-2x + 4y - x + 2 + 5y + 20 - 64 = 0$
   $-3x + 9y - 42 = 0$
   Bagi dengan -3: $x - 3y + 14 = 0$, atau $x = 3y - 14$.

2. **Substitusikan persamaan garis kutub ke dalam persamaan lingkaran.**
   Ini akan memberikan titik-titik singgung (jika ada) dari garis yang melalui titik $(-2,4)$ dan menyinggung lingkaran.
   $(3y-14)^2 + y^2 - 2(3y-14) + 10y - 64 = 0$
   $(9y^2 - 84y + 196) + y^2 - 6y + 28 + 10y - 64 = 0$
   $10y^2 - 80y + 160 = 0$
   Bagi dengan 10: $y^2 - 8y + 16 = 0$
   $(y-4)^2 = 0$
   $y = 4$

3. **Cari nilai x.**
   $x = 3y - 14 = 3(4) - 14 = 12 - 14 = -2$.
   Titik singgungnya adalah $(-2,4)$, yang berarti titik yang diberikan memang terletak pada lingkaran dan juga merupakan titik singgungnya.

4. **Cari persamaan garis singgung.**
   Karena titik $(-2,4)$ adalah titik singgungnya, kita bisa menggunakan rumus garis singgung pada titik $(x_1, y_1)$ di lingkaran $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$, yaitu $x x_1 + y y_1 + g(x+x_1) + f(y+y_1) + c = 0$.
   $x(-2) + y(4) + (-1)(x+(-2)) + 5(y+4) + (-64) = 0$
   $-2x + 4y - x + 2 + 5y + 20 - 64 = 0$
   $-3x + 9y - 42 = 0$
   Bagi dengan -3: $x - 3y + 14 = 0$.

Jadi, persamaan garis singgung pada lingkaran $x^2+y^2-2x+10y-64=0$ yang melalui titik $(-2,4)$ adalah $x - 3y + 14 = 0$.