Buktikan bahwa sigma r=1 n (1/(4r^2-1))=n/(2n+1)

Pembuktian dilakukan dengan dekomposisi pecahan parsial dan menjumlahkan deret teleskopik.

Pembahasan

Pembuktian identitas sigma ini dilakukan dengan menggunakan metode induksi matematika atau dengan menguraikan bentuk umum dari deret tersebut.

Langkah 1: Uraikan bentuk umum suku ke-r.
1/(4r^2-1) = 1/((2r-1)(2r+1))
Dengan menggunakan dekomposisi pecahan parsial:
1/((2r-1)(2r+1)) = A/(2r-1) + B/(2r+1)
1 = A(2r+1) + B(2r-1)
Jika r = 1/2, maka 1 = A(2) => A = 1/2
Jika r = -1/2, maka 1 = B(-2) => B = -1/2
Jadi, 1/(4r^2-1) = 1/2 * (1/(2r-1) - 1/(2r+1))

Langkah 2: Jumlahkan deret tersebut.
Sigma_{r=1}^{n} [1/2 * (1/(2r-1) - 1/(2r+1))]
= 1/2 * Sigma_{r=1}^{n} (1/(2r-1) - 1/(2r+1))
Ini adalah deret teleskopik:
= 1/2 * [(1/1 - 1/3) + (1/3 - 1/5) + (1/5 - 1/7) + ... + (1/(2n-1) - 1/(2n+1))]
= 1/2 * (1/1 - 1/(2n+1))
= 1/2 * ((2n+1 - 1) / (2n+1))
= 1/2 * (2n / (2n+1))
= n / (2n+1)

Terbukti bahwa sigma r=1 n (1/(4r^2-1))=n/(2n+1)