Buktikan bahwa: sin 3x=3 sin x-4sin^3 x

Identitas \sin(3x) = 3\sin(x) - 4\sin^3(x) terbukti dengan menggunakan identitas penjumlahan sudut dan identitas sudut ganda.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas \sin(3x) = 3\sin(x) - 4\sin^3(x), kita dapat menggunakan identitas penjumlahan sudut dan identitas sudut ganda.

Kita tahu bahwa \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B.

Dengan mengatur A = 2x dan B = x, kita dapat menulis:
\sin(3x) = \sin(2x + x) = \sin(2x)\cos(x) + \cos(2x)\sin(x)

Sekarang, kita gunakan identitas sudut ganda:
\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)
\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = 1 - 2\sin^2(x)

Substitusikan identitas ini ke dalam persamaan \sin(3x):
\sin(3x) = (2\sin(x)\cos(x))\cos(x) + (1 - 2\sin^2(x))\sin(x)
\sin(3x) = 2\sin(x)\cos^2(x) + \sin(x) - 2\sin^3(x)

Kita juga tahu bahwa \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x). Substitusikan ini:
\sin(3x) = 2\sin(x)(1 - \sin^2(x)) + \sin(x) - 2\sin^3(x)
\sin(3x) = 2\sin(x) - 2\sin^3(x) + \sin(x) - 2\sin^3(x)
\sin(3x) = 3\sin(x) - 4\sin^3(x)

Dengan demikian, identitas \sin(3x) = 3\sin(x) - 4\sin^3(x) telah terbukti.