lim x -> 2 (x akar(x)-2 akar(x)-2 akar(2)+x

8

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita dapat menggunakan metode substitusi atau L'Hopital's Rule jika bentuknya tak tentu.

Misalkan f(x) = x√x - 2√x - 2√2 + x√2 dan g(x) = √x - √2.
Saat x mendekati 2, baik pembilang maupun penyebut mendekati 0 (bentuk 0/0), sehingga kita bisa menggunakan L'Hopital's Rule.

Turunan pembilang (f'(x)):
Perlu diingat bahwa x√x = x^(3/2).
Turunan x^(3/2) adalah (3/2)x^(1/2) = (3/2)√x.
Turunan -2√x adalah -2 * (1/2)x^(-1/2) = -1/√x.
Turunan -2√2 adalah 0.
Turunan x√2 adalah √2.
Jadi, f'(x) = (3/2)√x - 1/√x + √2.

Turunan penyebut (g'(x)):
Turunan √x adalah (1/2)x^(-1/2) = 1/(2√x).
Turunan -√2 adalah 0.
Jadi, g'(x) = 1/(2√x).

Sekarang, kita hitung limit f'(x) / g'(x) saat x mendekati 2:
lim x→2 [(3/2)√x - 1/√x + √2] / [1/(2√x)]
Substitusikan x = 2:
= [(3/2)√2 - 1/√2 + √2] / [1/(2√2)]
= [(3√2)/2 - √2/2 + 2√2/2] / [1/(2√2)]
= [(3√2 - √2 + 2√2) / 2] / [1/(2√2)]
= [4√2 / 2] / [1/(2√2)]
= [2√2] / [1/(2√2)]
= 2√2 * (2√2)
= 4 * 2
= 8

Jadi, hasil limitnya adalah 8.