Buktikan bahwa untuk nilai x yang cukup kecil berlaku : e^x

Pembuktian dilakukan dengan menurunkan deret Maclaurin untuk e^x dan menyederhanakan bentuk bersarang untuk menunjukkan kesetaraannya.

Pembahasan

Pembuktian bahwa untuk nilai x yang cukup kecil berlaku:
e^x = 1 + x + (x^2)/(2!) + (x^3)/(3!) + (x^4)/(4!) + ...

Ini adalah deret Maclaurin untuk fungsi e^x. Deret ini diturunkan dari ekspansi Taylor di sekitar x=0.

Langkah-langkah menurunkan deret Maclaurin untuk e^x:
1. Tentukan turunan dari f(x) = e^x:
f(x) = e^x
f'(x) = e^x
f''(x) = e^x
f'''(x) = e^x
f''''(x) = e^x

2. Evaluasi turunan pada x = 0:
f(0) = e^0 = 1
f'(0) = e^0 = 1
f''(0) = e^0 = 1
f'''(0) = e^0 = 1
f''''(0) = e^0 = 1

3. Gunakan formula deret Maclaurin:
f(x) = f(0) + (f'(0)x)/(1!) + (f''(0)x^2)/(2!) + (f'''(0)x^3)/(3!) + (f''''(0)x^4)/(4!) + ...

Substitusikan nilai-nilai yang diperoleh:
e^x = 1 + (1*x)/(1!) + (1*x^2)/(2!) + (1*x^3)/(3!) + (1*x^4)/(4!) + ...
e^x = 1 + x + (x^2)/(2!) + (x^3)/(3!) + (x^4)/(4!) + ...

Bagian kedua dari pembuktian adalah menunjukkan kesetaraan bentuk:
1 + x + (x^2)/(2!) + (x^3)/(3!) + (x^4)/(4!) = {[(x/4 + 1)x/3 + 1]x/2 + 1}x + 1

Kita akan bekerja dari sisi kanan dan menyederhanakannya:
{[(x/4 + 1)x/3 + 1]x/2 + 1}x + 1

Langkah 1: Sederhanakan bagian terdalam:
(x/4 + 1)x/3 = (x^2/12 + x/3)

Langkah 2: Tambahkan 1:
(x^2/12 + x/3) + 1 = x^2/12 + x/3 + 1

Langkah 3: Kalikan dengan x/2:
(x^2/12 + x/3 + 1)(x/2) = x^3/24 + x^2/6 + x/2

Langkah 4: Tambahkan 1:
(x^3/24 + x^2/6 + x/2) + 1 = x^3/24 + x^2/6 + x/2 + 1

Langkah 5: Kalikan dengan x:
(x^3/24 + x^2/6 + x/2 + 1)x = x^4/24 + x^3/6 + x^2/2 + x

Langkah 6: Tambahkan 1:
(x^4/24 + x^3/6 + x^2/2 + x) + 1 = x^4/24 + x^3/6 + x^2/2 + x + 1

Sekarang, mari kita bandingkan ini dengan deret Maclaurin untuk e^x:
e^x = 1 + x + (x^2)/2 + (x^3)/6 + (x^4)/24 + ...

Jika kita melihat ekspresi yang disederhanakan dari sisi kanan: 1 + x + x^2/2 + x^3/6 + x^4/24, ini sesuai dengan empat suku pertama dari deret Maclaurin e^x (ditambah suku konstanta 1). Pembuktian ini menunjukkan bahwa bentuk bersarang tersebut memang setara dengan deret Maclaurin e^x hingga suku x^4, yang valid untuk nilai x yang cukup kecil.