Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli berlaku:a. n^5 -

Ketiga pernyataan terbukti benar menggunakan Prinsip Induksi Matematika.

Pembahasan

Untuk membuktikan pernyataan bahwa untuk setiap bilangan asli n berlaku:
a. n^5 - n habis dibagi oleh 5
b. 3^n - 1 habis dibagi oleh 2
c. 5^n - 3^n habis dibagi oleh 2
Kita akan menggunakan Prinsip Induksi Matematika.

**a. Bukti bahwa n^5 - n habis dibagi oleh 5**
Langkah 1: Basis Induksi (n=1)
Untuk n=1, 1^5 - 1 = 1 - 1 = 0. Karena 0 habis dibagi 5, pernyataan berlaku untuk n=1.

Langkah 2: Hipotesis Induksi
Asumsikan bahwa untuk suatu bilangan asli k, berlaku k^5 - k habis dibagi oleh 5. Artinya, k^5 - k = 5m untuk suatu bilangan bulat m.

Langkah 3: Langkah Induktif
Kita perlu membuktikan bahwa untuk n = k+1, pernyataan (k+1)^5 - (k+1) juga habis dibagi oleh 5.
(k+1)^5 - (k+1) = (k^5 + 5k^4 + 10k^3 + 10k^2 + 5k + 1) - (k+1)
= k^5 + 5k^4 + 10k^3 + 10k^2 + 5k + 1 - k - 1
= (k^5 - k) + 5k^4 + 10k^3 + 10k^2 + 5k
= (k^5 - k) + 5(k^4 + 2k^3 + 2k^2 + k)

Berdasarkan hipotesis induksi, (k^5 - k) habis dibagi oleh 5. Suku kedua, 5(k^4 + 2k^3 + 2k^2 + k), jelas habis dibagi oleh 5 karena memiliki faktor 5.
Karena jumlah dari dua bilangan yang habis dibagi 5 juga habis dibagi 5, maka (k+1)^5 - (k+1) habis dibagi oleh 5.

Kesimpulan: Berdasarkan Prinsip Induksi Matematika, n^5 - n habis dibagi oleh 5 untuk setiap bilangan asli n.

**b. Bukti bahwa 3^n - 1 habis dibagi oleh 2**
Langkah 1: Basis Induksi (n=1)
Untuk n=1, 3^1 - 1 = 3 - 1 = 2. Karena 2 habis dibagi 2, pernyataan berlaku untuk n=1.

Langkah 2: Hipotesis Induksi
Asumsikan bahwa untuk suatu bilangan asli k, berlaku 3^k - 1 habis dibagi oleh 2. Artinya, 3^k - 1 = 2m untuk suatu bilangan bulat m.

Langkah 3: Langkah Induktif
Kita perlu membuktikan bahwa untuk n = k+1, pernyataan 3^(k+1) - 1 juga habis dibagi oleh 2.
3^(k+1) - 1 = 3 * 3^k - 1
= 3 * 3^k - 3 + 2
= 3 * (3^k - 1) + 2

Berdasarkan hipotesis induksi, (3^k - 1) habis dibagi oleh 2. Maka 3 * (3^k - 1) juga habis dibagi oleh 2. Suku kedua, 2, jelas habis dibagi oleh 2.
Karena jumlah dari dua bilangan yang habis dibagi 2 juga habis dibagi 2, maka 3^(k+1) - 1 habis dibagi oleh 2.

Kesimpulan: Berdasarkan Prinsip Induksi Matematika, 3^n - 1 habis dibagi oleh 2 untuk setiap bilangan asli n.

**c. Bukti bahwa 5^n - 3^n habis dibagi oleh 2**
Langkah 1: Basis Induksi (n=1)
Untuk n=1, 5^1 - 3^1 = 5 - 3 = 2. Karena 2 habis dibagi 2, pernyataan berlaku untuk n=1.

Langkah 2: Hipotesis Induksi
Asumsikan bahwa untuk suatu bilangan asli k, berlaku 5^k - 3^k habis dibagi oleh 2. Artinya, 5^k - 3^k = 2m untuk suatu bilangan bulat m.

Langkah 3: Langkah Induktif
Kita perlu membuktikan bahwa untuk n = k+1, pernyataan 5^(k+1) - 3^(k+1) juga habis dibagi oleh 2.
5^(k+1) - 3^(k+1) = 5 * 5^k - 3 * 3^k
Kita bisa manipulasi agar muncul bentuk (5^k - 3^k):
= 5 * 5^k - 5 * 3^k + 5 * 3^k - 3 * 3^k
= 5 * (5^k - 3^k) + (5 - 3) * 3^k
= 5 * (5^k - 3^k) + 2 * 3^k

Berdasarkan hipotesis induksi, (5^k - 3^k) habis dibagi oleh 2. Maka 5 * (5^k - 3^k) juga habis dibagi oleh 2. Suku kedua, 2 * 3^k, jelas habis dibagi oleh 2 karena memiliki faktor 2.
Karena jumlah dari dua bilangan yang habis dibagi 2 juga habis dibagi 2, maka 5^(k+1) - 3^(k+1) habis dibagi oleh 2.

Kesimpulan: Berdasarkan Prinsip Induksi Matematika, 5^n - 3^n habis dibagi oleh 2 untuk setiap bilangan asli n.