Buktikan dengan induksi matematika bahwa n^(2)+n habis

Terbukti benar melalui basis induksi (n=1) dan langkah induktif dengan asumsi benar untuk n=k.

Pembahasan

Bukti dengan induksi matematika bahwa n^2 + n habis dibagi 2 untuk setiap n bilangan asli:

Langkah 1: Basis Induksi (n=1)
Untuk n=1, kita substitusikan ke dalam pernyataan: 1^2 + 1 = 1 + 1 = 2.
Karena 2 habis dibagi 2, maka pernyataan tersebut benar untuk n=1.

Langkah 2: Asumsi Induksi
Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk suatu bilangan asli k, yaitu k^2 + k habis dibagi 2. Ini berarti k^2 + k = 2m untuk suatu bilangan bulat m.

Langkah 3: Langkah Induktif
Kita perlu membuktikan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n = k+1. Yaitu, (k+1)^2 + (k+1) habis dibagi 2.

(k+1)^2 + (k+1) = (k^2 + 2k + 1) + (k + 1)
= k^2 + 2k + 1 + k + 1
= k^2 + 3k + 2

Sekarang, kita ingin menghubungkan ekspresi ini dengan asumsi induksi (k^2 + k).
Kita bisa menulis ulang k^2 + 3k + 2 sebagai:
= (k^2 + k) + 2k + 2

Berdasarkan asumsi induksi, kita tahu bahwa k^2 + k = 2m. Substitusikan ini ke dalam persamaan:
= 2m + 2k + 2
= 2(m + k + 1)

Karena (m + k + 1) adalah bilangan bulat (karena m dan k adalah bilangan bulat), maka 2(m + k + 1) pasti habis dibagi 2.

Kesimpulan:
Karena pernyataan tersebut benar untuk n=1, dan jika benar untuk n=k maka juga benar untuk n=k+1, maka berdasarkan prinsip induksi matematika, pernyataan bahwa n^2 + n habis dibagi 2 adalah benar untuk setiap bilangan asli n.