Jika Un adalah suku ke-n pada barisan geometri, U4=m^(1/3)

Suku ke-24

Pembahasan

Diketahui barisan geometri dengan suku ke-n adalah Un. Diberikan U4 = m^(1/3) dan U9 = m.

Rumus umum suku ke-n barisan geometri adalah Un = a * r^(n-1), di mana a adalah suku pertama dan r adalah rasio.

Dari informasi yang diberikan:
U4 = a * r^(4-1) = a * r^3 = m^(1/3)  ...(1)
U9 = a * r^(9-1) = a * r^8 = m  ...(2)

Kita perlu mencari nilai m^3, dan suku ke berapa m^3 itu.

Untuk mencari rasio (r), kita bisa membagi persamaan (2) dengan persamaan (1):
(a * r^8) / (a * r^3) = m / m^(1/3)
r^5 = m^(1 - 1/3)
r^5 = m^(2/3)

Untuk mendapatkan m, kita pangkatkan kedua sisi dengan 3/2:
(r^5)^(3/2) = (m^(2/3))^(3/2)
r^(15/2) = m

Sekarang kita perlu mencari suku ke berapa m^3 itu. Kita tahu U9 = m, jadi U9 = r^(15/2).
Kita perlu mencari n sedemikian rupa sehingga Un = m^3.
Un = a * r^(n-1) = (m^3)

Substitusikan m = r^(15/2):
Un = (r^(15/2))^3
Un = r^(45/2)

Jadi, kita perlu mencari n dimana a * r^(n-1) = r^(45/2).
Ini agak rumit karena kita tidak tahu nilai 'a' secara eksplisit dalam bentuk r.

Mari kita coba cara lain. Kita punya U9 = m dan U4 = m^(1/3).
U9 / U4 = (a * r^8) / (a * r^3) = r^5
m / m^(1/3) = r^5
m^(2/3) = r^5

Sekarang kita ingin mencari suku ke-n yang nilainya adalah m^3.
Misalkan suku ke-n adalah m^3, jadi Un = m^3.

Kita tahu bahwa U9 = m.
Maka, U9^3 = m^3.
Jadi, Un = U9^3.

Dalam barisan geometri, U_n = U_k * r^(n-k).
Kita punya U9 = m.
Kita ingin Un = m^3 = (U9)^3.

Un = U9 * r^(n-9)
U9^3 = U9 * r^(n-9)
U9^2 = r^(n-9)

Kita tahu m^(2/3) = r^5.
Kita juga tahu U9 = m, jadi U9^2 = m^2.

Jadi, m^2 = r^(n-9).

Kita perlu menghubungkan m dengan r. Kita punya m = r^(15/2).

m^2 = (r^(15/2))^2 = r^15.

Jadi, r^15 = r^(n-9).
Ini berarti 15 = n - 9.
n = 15 + 9
n = 24.

Jadi, m^3 adalah suku ke-24.