Buktikan dengan induksi matematika Jumlah n suku pertama

Pernyataan terbukti benar untuk n=1. Dengan mengasumsikan benar untuk k, kita menunjukkan benar untuk k+1 dengan memanipulasi kedua sisi persamaan.

Pembahasan

Untuk membuktikan pernyataan $1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4 \cdot 5 + ... + n(n+1)(n+2) = \frac{1}{4}n(n+1)(n+2)(n+3)$ dengan induksi matematika, kita lakukan langkah-langkah berikut:

1.  **Basis Induksi:** Tunjukkan bahwa pernyataan tersebut benar untuk $n=1$.
    Untuk $n=1$, sisi kiri adalah $1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$.
    Sisi kanan adalah $\frac{1}{4}(1)(1+1)(1+2)(1+3) = \frac{1}{4}(1)(2)(3)(4) = \frac{24}{4} = 6$.
    Karena sisi kiri sama dengan sisi kanan, pernyataan tersebut benar untuk $n=1$.

2.  **Hipotesis Induksi:** Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk suatu bilangan bulat positif $k$, yaitu:
    $1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4 \cdot 5 + ... + k(k+1)(k+2) = \frac{1}{4}k(k+1)(k+2)(k+3)$

3.  **Langkah Induksi:** Tunjukkan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk $n=k+1$.
    Kita perlu membuktikan bahwa:
    $1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4 \cdot 5 + ... + k(k+1)(k+2) + (k+1)(k+2)(k+3) = \frac{1}{4}(k+1)((k+1)+1)((k+1)+2)((k+1)+3)$
    atau
    $1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4 \cdot 5 + ... + k(k+1)(k+2) + (k+1)(k+2)(k+3) = \frac{1}{4}(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)$

    Mulai dari sisi kiri dan gunakan hipotesis induksi:
    $(1 \cdot 2 \cdot 3 + ... + k(k+1)(k+2)) + (k+1)(k+2)(k+3) = \frac{1}{4}k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)$

    Faktorkan $(k+1)(k+2)(k+3)$:
    $= (k+1)(k+2)(k+3) \left( \frac{1}{4}k + 1 \right)$
    $= (k+1)(k+2)(k+3) \left( \frac{k+4}{4} \right)$
    $= \frac{1}{4}(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)$

    Ini sama dengan sisi kanan yang ingin kita buktikan. Oleh karena itu, berdasarkan prinsip induksi matematika, pernyataan tersebut benar untuk semua bilangan bulat positif $n$.