Buktikan dengan induksi matematika kebenaran dari

Pernyataan 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n+1) terbukti benar untuk semua bilangan bulat positif n menggunakan induksi matematika.

Pembahasan

Untuk membuktikan pernyataan 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n+1) dengan induksi matematika, kita ikuti langkah-langkah berikut:

1. Basis Induksi (n=1):
   Untuk n=1, sisi kiri adalah 2(1) = 2.
   Sisi kanan adalah 1(1+1) = 1(2) = 2.
   Karena sisi kiri = sisi kanan, pernyataan benar untuk n=1.

2. Hipotesis Induksi:
   Asumsikan pernyataan tersebut benar untuk suatu bilangan bulat positif k, yaitu:
   2 + 4 + 6 + ... + 2k = k(k+1)

3. Langkah Induksi:
   Kita perlu membuktikan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n = k+1. Artinya, kita perlu menunjukkan bahwa:
   2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k+1) = (k+1)((k+1)+1)
   2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k+1) = (k+1)(k+2)

   Mulai dari sisi kiri:
   (2 + 4 + 6 + ... + 2k) + 2(k+1)

   Gunakan hipotesis induksi untuk mengganti bagian dalam kurung:
   k(k+1) + 2(k+1)

   Faktorkan (k+1):
   (k+1)(k + 2)

   Ini sama dengan sisi kanan dari pernyataan yang ingin kita buktikan untuk n = k+1.

Kesimpulan:
Karena pernyataan tersebut benar untuk n=1 (basis induksi) dan jika benar untuk n=k maka juga benar untuk n=k+1 (langkah induksi), maka berdasarkan prinsip induksi matematika, pernyataan 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n+1) benar untuk semua bilangan bulat positif n.