Misalkan a0, a1, a2, ... adalah barisan yang didefinisikan

Terbukti bahwa a_n <= 3^n untuk n>=0 menggunakan induksi matematika.

Pembahasan

Kita akan membuktikan bahwa \(a_n \le 3^n\) untuk setiap bilangan bulat \(n \ge 0\) menggunakan induksi matematika.

Basis Induksi:
Untuk \(n=0\), \(a_0 = 1\) dan \(3^0 = 1\). Jadi, \(a_0 \le 3^0\) (1 \(\le\) 1), yang benar.
Untuk \(n=1\), \(a_1 = 2\) dan \(3^1 = 3\). Jadi, \(a_1 \le 3^1\) (2 \(\le\) 3), yang benar.
Untuk \(n=2\), \(a_2 = 3\) dan \(3^2 = 9\). Jadi, \(a_2 \le 3^2\) (3 \(\le\) 9), yang benar.

Langkah Induksi:
Asumsikan bahwa \(a_k \le 3^k\) untuk semua bilangan bulat \(0 \le k < m\), di mana \(m \ge 3\). Kita perlu membuktikan bahwa \(a_m \le 3^m\).

Menurut definisi barisan, untuk \(m \ge 3\), kita memiliki \(a_m = a_{m-1} + a_{m-2} + a_{m-3}\).

Berdasarkan asumsi induksi, kita tahu bahwa:
\(a_{m-1} \le 3^{m-1}\)
\(a_{m-2} \le 3^{m-2}\)
\(a_{m-3} \le 3^{m-3}\)

Maka, kita dapat menulis:
\(a_m = a_{m-1} + a_{m-2} + a_{m-3} \le 3^{m-1} + 3^{m-2} + 3^{m-3}\)

Sekarang, kita faktorkan \(3^{m-3}\) dari sisi kanan:
\(a_m \le 3^{m-3}(3^2 + 3^1 + 3^0) = 3^{m-3}(9 + 3 + 1) = 3^{m-3}(13)\)

Kita perlu menunjukkan bahwa \(3^{m-3}(13) \le 3^m\). Ini setara dengan menunjukkan \(13 \le 3^3\), karena \(3^m = 3^{m-3} \\cdot 3^3\).

\(3^3 = 27\).
Karena \(13 \le 27\), maka \(a_m \le 3^{m-3}(13) \le 3^{m-3}(27) = 3^m\).

Jadi, \(a_m \le 3^m\).

Kesimpulan:
Berdasarkan prinsip induksi matematika, \(a_n \le 3^n\) untuk setiap bilangan bulat \(n \ge 0\).

Jawaban Ringkas: Terbukti menggunakan induksi matematika.