Buktikan identitas berikut: a. (sin x cos x)^2 - (sin x

Identitas a terbukti jika suku pertama adalah $(\\sin x + \\cos x)^2$. Identitas b terbukti.

Pembahasan

Kita akan membuktikan kedua identitas trigonometri tersebut:

a. Buktikan: $(\\sin x \\cos x)^2 - (\\sin x - \\cos x)^2 = 4 \\sin x \\cos x$
Ruas kiri: $(\\sin x \\cos x)^2 - (\\sin x - \\cos x)^2$
$= (\\sin^2 x \\cos^2 x) - (\\sin^2 x - 2 \\sin x \\cos x + \\cos^2 x)$
$= \\sin^2 x \\cos^2 x - (1 - 2 \\sin x \\cos x)$   (karena $\\\sin^2 x + \\cos^2 x = 1$)
$= \\sin^2 x \\cos^2 x - 1 + 2 \\sin x \\cos x$
Identitas ini tampaknya memiliki kesalahan dalam soal karena ruas kiri tidak sama dengan ruas kanan. Jika yang dimaksud adalah membuktikan $(\\sin x + \\cos x)^2 - (\\sin x - \\cos x)^2 = 4 \\sin x \\cos x$, maka:
Ruas kiri: $(\\sin x + \\cos x)^2 - (\\sin x - \\cos x)^2$
$= (\\sin^2 x + 2 \\sin x \\cos x + \\cos^2 x) - (\\sin^2 x - 2 \\sin x \\cos x + \\cos^2 x)$
$= (1 + 2 \\sin x \\cos x) - (1 - 2 \\sin x \\cos x)$
$= 1 + 2 \\sin x \\cos x - 1 + 2 \\sin x \\cos x$
$= 4 \\sin x \\cos x$
Ini terbukti.

b. Buktikan: $\\\sin x / (1 + \\cos x) + (1 + \\cos x) / \\sin x = 2 / \\sin x$
Ruas kiri: $\\\sin x / (1 + \\cos x) + (1 + \\cos x) / \\sin x$
Samakan penyebutnya:
$= [(\\\\sin x) * (\\sin x) + (1 + \\cos x) * (1 + \\cos x)] / [(1 + \\cos x) * \\sin x]$
$= [\\sin^2 x + (1 + 2 \\cos x + \\cos^2 x)] / [\\sin x + \\sin x \\cos x]$
$= [(\\\\sin^2 x + \\cos^2 x) + 1 + 2 \\cos x] / [\\sin x + \\sin x \\cos x]$
$= [1 + 1 + 2 \\cos x] / [\\sin x + \\sin x \\cos x]$
$= [2 + 2 \\cos x] / [\\sin x + \\sin x \\cos x]$
$= 2(1 + \\cos x) / [\\sin x (1 + \\cos x)]$
$= 2 / \\sin x$
Ini terbukti.