Himpunan penyelesaian dari : sin (2 x+30) >= (1)/(2)

Himpunan penyelesaiannya adalah $15^{\circ} \le x \le 45^{\circ}$.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan $\sin(2x + 30^{\circ}) \ge \frac{1}{2}\sqrt{3}$ pada interval $0^{\circ} \le x \le 180^{\circ}$, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

Langkah 1: Tentukan nilai dasar sudut di mana $\sin(\theta) = \frac{1}{2}\sqrt{3}$.
Nilai sudut $\theta$ yang memenuhi adalah $60^{\circ}$ dan $120^{\circ}$ (karena sinus positif di kuadran I dan II).

Langkah 2: Terapkan pada argumen fungsi sinus dalam pertidaksamaan.
Kita punya $2x + 30^{\circ}$. Jadi, kita mencari $\theta$ sehingga $\sin(\theta) \ge \frac{1}{2}\sqrt{3}$.
Ini berarti $\theta$ harus berada di antara $60^{\circ}$ dan $120^{\circ}$ (inklusif).
$60^{\circ} \le 2x + 30^{\circ} \le 120^{\circ}$

Langkah 3: Selesaikan pertidaksamaan untuk x.
Kurangi semua bagian dengan $30^{\circ}$:
$60^{\circ} - 30^{\circ} \le 2x \le 120^{\circ} - 30^{\circ}$
$30^{\circ} \le 2x \le 90^{\circ}$

Bagi semua bagian dengan 2:
$30^{\circ} / 2 \le x \le 90^{\circ} / 2$
$15^{\circ} \le x \le 45^{\circ}$

Langkah 4: Periksa interval yang diberikan.
Interval yang diberikan adalah $0^{\circ} \le x \le 180^{\circ}$.
Hasil yang kita dapatkan, $15^{\circ} \le x \le 45^{\circ}$, sepenuhnya berada dalam interval yang diberikan.

Namun, kita juga perlu mempertimbangkan periode fungsi sinus. Fungsi $\sin(\theta)$ berulang setiap $360^{\circ}$. Oleh karena itu, solusi umum untuk $\sin(\theta) \ge \frac{1}{2}\sqrt{3}$ adalah:
$60^{\circ} + n \cdot 360^{\circ} \le \theta \le 120^{\circ} + n \cdot 360^{\circ}$, di mana n adalah bilangan bulat.

Menerapkan ini pada $\theta = 2x + 30^{\circ}$:
$60^{\circ} + n \cdot 360^{\circ} \le 2x + 30^{\circ} \le 120^{\circ} + n \cdot 360^{\circ}$

Untuk n = 0:
$60^{\circ} \le 2x + 30^{\circ} \le 120^{\circ}$
$30^{\circ} \le 2x \le 90^{\circ}$
$15^{\circ} \le x \le 45^{\circ}$

Untuk n = 1:
$60^{\circ} + 360^{\circ} \le 2x + 30^{\circ} \le 120^{\circ} + 360^{\circ}$
$420^{\circ} \le 2x + 30^{\circ} \le 480^{\circ}$
$390^{\circ} \le 2x \le 450^{\circ}$
$195^{\circ} \le x \le 225^{\circ}$
Nilai x ini berada di luar interval $0^{\circ} \le x \le 180^{\circ}$.

Untuk n = -1:
$60^{\circ} - 360^{\circ} \le 2x + 30^{\circ} \le 120^{\circ} - 360^{\circ}$
$-300^{\circ} \le 2x + 30^{\circ} \le -240^{\circ}$
$-330^{\circ} \le 2x \le -270^{\circ}$
$-165^{\circ} \le x \le -135^{\circ}$
Nilai x ini juga berada di luar interval yang diberikan.

Jadi, satu-satunya solusi yang valid dalam interval yang diberikan adalah $15^{\circ} \le x \le 45^{\circ}$.

Himpunan penyelesaian adalah $[15^{\circ}, 45^{\circ}]$.