Buktikan identitas trigonometri berikut:cos 3t=4 cos^3 t-3

Identitas terbukti dengan menggunakan identitas penjumlahan sudut dan identitas sudut ganda.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas trigonometri \cos(3t) = 4 \cos^3(t) - 3 \cos(t), kita dapat mulai dari sisi kiri persamaan dan menggunakan identitas trigonometri yang diketahui.

Kita tahu bahwa \cos(3t) dapat ditulis sebagai \cos(2t + t).
Menggunakan identitas penjumlahan sudut untuk kosinus, yaitu \cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B:
\cos(3t) = \cos(2t + t) = \cos(2t) \cos(t) - \sin(2t) \sin(t)

Sekarang, kita perlu mengganti \cos(2t) dan \sin(2t) dengan identitas yang hanya melibatkan \cos(t) dan \sin(t).
Identitas yang relevan adalah:
\cos(2t) = 2 \cos^2(t) - 1
\sin(2t) = 2 \sin(t) \cos(t)

Substitusikan identitas ini ke dalam persamaan:
\cos(3t) = (2 \cos^2(t) - 1) \cos(t) - (2 \sin(t) \cos(t)) \sin(t)

Sekarang, distribusikan dan sederhanakan:
\cos(3t) = 2 \cos^3(t) - \cos(t) - 2 \sin^2(t) \cos(t)

Kita perlu menghilangkan suku \sin^2(t). Kita dapat menggunakan identitas \sin^2(t) + \cos^2(t) = 1, yang berarti \sin^2(t) = 1 - \cos^2(t).
Substitusikan ini:
\cos(3t) = 2 \cos^3(t) - \cos(t) - 2 (1 - \cos^2(t)) \cos(t)

Distribusikan suku terakhir:
\cos(3t) = 2 \cos^3(t) - \cos(t) - (2 \cos(t) - 2 \cos^3(t))
\cos(3t) = 2 \cos^3(t) - \cos(t) - 2 \cos(t) + 2 \cos^3(t)

Gabungkan suku-suku yang sejenis:
\cos(3t) = (2 \cos^3(t) + 2 \cos^3(t)) + (-\cos(t) - 2 \cos(t))
\cos(3t) = 4 \cos^3(t) - 3 \cos(t)

Dengan demikian, identitas trigonometri \cos(3t) = 4 \cos^3(t) - 3 \cos(t) telah terbukti.