Tentukan nilai stasioner, titik stasioner, dan jenisnya

Titik stasioner maksimum di (-1, 5/2) dan titik stasioner minimum di (2/3, 5/27).

Pembahasan

Untuk menentukan nilai stasioner, titik stasioner, dan jenisnya untuk fungsi f(x) = x³ + ½x² - 2x + 1, kita perlu melakukan langkah-langkah berikut:

1.  **Mencari turunan pertama (f'(x))**: Turunan pertama dari fungsi f(x) adalah f'(x) = 3x² + x - 2.
2.  **Mencari titik stasioner**: Titik stasioner didapatkan dengan menyamakan turunan pertama dengan nol, yaitu f'(x) = 0.
    3x² + x - 2 = 0
    Kita bisa memfaktorkan persamaan kuadrat ini:
    (3x - 2)(x + 1) = 0
    Dari sini, kita mendapatkan dua nilai x:
    3x - 2 = 0  =>  x = 2/3
    x + 1 = 0   =>  x = -1
    Jadi, titik stasioner berada pada x = 2/3 dan x = -1.
3.  **Mencari nilai stasioner**: Substitusikan nilai-nilai x ke dalam fungsi f(x).
    Untuk x = 2/3:
    f(2/3) = (2/3)³ + ½(2/3)² - 2(2/3) + 1
    f(2/3) = 8/27 + ½(4/9) - 4/3 + 1
    f(2/3) = 8/27 + 2/9 - 4/3 + 1
    f(2/3) = 8/27 + 6/27 - 36/27 + 27/27
    f(2/3) = (8 + 6 - 36 + 27) / 27
    f(2/3) = 5/27
    Untuk x = -1:
    f(-1) = (-1)³ + ½(-1)² - 2(-1) + 1
    f(-1) = -1 + ½(1) + 2 + 1
    f(-1) = -1 + ½ + 3
    f(-1) = 2 + ½
    f(-1) = 5/2
    Jadi, nilai stasioner adalah 5/27 dan 5/2.
4.  **Menentukan jenis titik stasioner**: Kita gunakan turunan kedua (f''(x)).
    f''(x) = turunan dari f'(x) = 6x + 1.
    Untuk x = 2/3:
    f''(2/3) = 6(2/3) + 1 = 4 + 1 = 5.
    Karena f''(2/3) > 0, maka titik (2/3, 5/27) adalah titik minimum.
    Untuk x = -1:
    f''(-1) = 6(-1) + 1 = -6 + 1 = -5.
    Karena f''(-1) < 0, maka titik (-1, 5/2) adalah titik maksimum.

**Kesimpulan:**
*   Nilai stasioner: 5/27 dan 5/2
*   Titik stasioner: (2/3, 5/27) dan (-1, 5/2)
*   Jenis titik stasioner: Titik minimum di (2/3, 5/27) dan titik maksimum di (-1, 5/2).