Buktikan identitas trigonometri berikut: tan theta cosec

Identitas yang diberikan terbukti salah berdasarkan pengujian dengan nilai θ = π/4, di mana sisi kiri menghasilkan 0 dan sisi kanan menghasilkan 1.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas trigonometri tan θ csc θ sec θ (1 - 2 cos² θ) = cotan θ, kita akan mulai dari sisi kiri identitas dan menyederhanakannya hingga sama dengan sisi kanan.

Sisi Kiri:
tan θ csc θ sec θ (1 - 2 cos² θ)

Kita tahu bahwa:
tan θ = sin θ / cos θ
csc θ = 1 / sin θ
sec θ = 1 / cos θ
1 - 2 cos² θ = -cos(2θ)

Substitusikan identitas-identitas ini ke dalam sisi kiri:
(sin θ / cos θ) * (1 / sin θ) * (1 / cos θ) * (-cos(2θ))

Sederhanakan suku-suku yang saling menghilangkan:
(1 / cos² θ) * (-cos(2θ))

Gunakan identitas cos(2θ) = 2 cos² θ - 1:
(1 / cos² θ) * -(2 cos² θ - 1)
(1 / cos² θ) * (1 - 2 cos² θ)

Sekarang, kita bisa melihat bahwa 1 - 2 cos² θ sama dengan -cos(2θ). Namun, kita ingin mencapai cotan θ. Mari kita gunakan identitas lain:
1 - 2 cos² θ = 1 - cos² θ - cos² θ = sin² θ - cos² θ

Jadi, kembali ke langkah sebelumnya:
(1 / cos² θ) * (sin² θ - cos² θ)

Bagi setiap suku di pembilang dengan cos² θ:
(sin² θ / cos² θ) - (cos² θ / cos² θ)

Sederhanakan:
tan² θ - 1

Ini belum sama dengan cotan θ. Mari kita coba pendekatan lain dengan menyederhanakan ekspresi di dalam kurung terlebih dahulu menggunakan identitas cos(2θ).

Sisi Kiri:
tan θ csc θ sec θ (1 - 2 cos² θ)

Kita tahu bahwa 1 - 2 cos² θ = -cos(2θ).
Jadi, sisi kiri menjadi:
tan θ csc θ sec θ (-cos(2θ))

Sekarang, mari kita substitusikan tan θ, csc θ, dan sec θ:
(sin θ / cos θ) * (1 / sin θ) * (1 / cos θ) * (-cos(2θ))

= (1 / cos² θ) * (-cos(2θ))

Kita juga tahu bahwa cos(2θ) = cos² θ - sin² θ. Jadi, 1 - 2 cos² θ = -(cos² θ - sin² θ) = -cos(2θ).

Mari kita kembali ke:
(sin θ / cos θ) * (1 / sin θ) * (1 / cos θ)
Ini menyederhanakan menjadi 1 / cos² θ.

Jadi, kita punya:
(1 / cos² θ) * (1 - 2 cos² θ)

Sekarang kita ubah ke dalam bentuk cotan θ.
Kita tahu cotan θ = cos θ / sin θ.
Kita juga tahu tan θ = sin θ / cos θ.

Mari kita ubah semua ke dalam sin dan cos:
tan θ csc θ sec θ (1 - 2 cos² θ)
= (sin θ / cos θ) * (1 / sin θ) * (1 / cos θ) * (1 - 2 cos² θ)
= (1 / cos² θ) * (1 - 2 cos² θ)
= (1 - 2 cos² θ) / cos² θ
= 1/cos² θ - 2 cos² θ / cos² θ
= sec² θ - 2

Kita tahu identitas sec² θ = 1 + tan² θ.
= (1 + tan² θ) - 2
= tan² θ - 1

Ini masih belum cotan θ. Ada kesalahan dalam penyederhanaan atau identitas yang digunakan.

Mari kita coba lagi dengan menyederhanakan (1 - 2 cos² θ) menggunakan identitas sudut ganda cos(2θ).
Kita tahu bahwa cos(2θ) = cos² θ - sin² θ. Juga, cos(2θ) = 2 cos² θ - 1, dan cos(2θ) = 1 - 2 sin² θ.
Dari cos(2θ) = 2 cos² θ - 1, kita dapatkan 1 - 2 cos² θ = -cos(2θ).

Jadi, sisi kiri adalah:
tan θ csc θ sec θ (-cos(2θ))

Sekarang, substitusikan tan θ, csc θ, sec θ:
(sin θ / cos θ) * (1 / sin θ) * (1 / cos θ) * (-cos(2θ))
= (1 / cos² θ) * (-cos(2θ))

Kita ingin membuktikan ini sama dengan cotan θ.
Mari kita ubah cotan θ menjadi sin dan cos: cotan θ = cos θ / sin θ.

Ini berarti ada kemungkinan kesalahan dalam soal atau identitas yang diberikan, karena penyederhanaan sisi kiri tidak mengarah ke cotan θ.

Namun, jika kita asumsikan bahwa soalnya benar dan kita harus membuktikannya, mari kita coba manipulasi lain.

Perhatikan suku (1 - 2 cos² θ). Kita bisa menuliskannya sebagai -(2 cos² θ - 1) = -cos(2θ).
Jadi, sisi kiri menjadi: tan θ csc θ sec θ (-cos(2θ))

Kita tahu tan θ csc θ sec θ = (sin θ / cos θ) * (1 / sin θ) * (1 / cos θ) = 1 / cos² θ = sec² θ.
Jadi, sisi kiri = sec² θ * (-cos(2θ)) = -(sec² θ) * cos(2θ).

Kita tahu sec² θ = 1 + tan² θ.
= -(1 + tan² θ) * cos(2θ)

Ini juga tidak terlihat mengarah ke cotan θ.

Mari kita lihat lagi soalnya: tan theta cosec theta secan theta(1 _ 2 cos^2 theta) = cotan theta
Perhatikan jika ada kesalahan pengetikan pada suku (1 - 2 cos^2 theta). Jika itu seharusnya (1 - cos^2 theta), maka:
tan θ csc θ sec θ (1 - cos² θ)
= tan θ csc θ sec θ (sin² θ)
= (sin θ / cos θ) * (1 / sin θ) * (1 / cos θ) * (sin² θ)
= (1 / cos² θ) * sin² θ
= sin² θ / cos² θ
= tan² θ
Ini juga bukan cotan θ.

Mari kita perhatikan kembali identitas trigonometri yang melibatkan 1 - 2 cos² θ. Ini adalah -cos(2θ).
Jadi, sisi kiri adalah tan θ csc θ sec θ (-cos(2θ)).

Jika kita ubah tan θ csc θ sec θ menjadi dalam bentuk sinus dan kosinus:
(sin θ / cos θ) * (1 / sin θ) * (1 / cos θ) = 1 / cos² θ.

Jadi, sisi kiri = (1 / cos² θ) * (-cos(2θ)) = -cos(2θ) / cos² θ.

Kita ingin membuktikan ini sama dengan cotan θ = cos θ / sin θ.

-cos(2θ) / cos² θ = cos θ / sin θ
-cos(2θ) sin θ = cos θ cos² θ
-(cos² θ - sin² θ) sin θ = cos³ θ
(-cos² θ + sin² θ) sin θ = cos³ θ
-cos² θ sin θ + sin³ θ = cos³ θ
sin³ θ = cos³ θ + cos² θ sin θ
sin³ θ = cos² θ (cos θ + sin θ)

Ini tidak terlihat benar.

Mari kita coba ubah sisi kiri ke bentuk cotan θ secara langsung.
Kita tahu tan θ = 1 / cotan θ, sec θ = sqrt(1 + tan² θ) = sqrt(1 + 1/cotan² θ), csc θ = sqrt(1 + cotan² θ).

Ini akan sangat rumit.

Mari kita kembali ke:
tan θ csc θ sec θ (1 - 2 cos² θ)

Kita tahu tan θ sec θ = (sin θ / cos θ) * (1 / cos θ) = sin θ / cos² θ.
Kita tahu csc θ = 1 / sin θ.

Jadi, tan θ csc θ sec θ = (sin θ / cos² θ) * (1 / sin θ) = 1 / cos² θ.

Sisi kiri = (1 / cos² θ) * (1 - 2 cos² θ).

Kita ingin ini sama dengan cotan θ = cos θ / sin θ.

(1 - 2 cos² θ) / cos² θ = cos θ / sin θ
(1 - 2 cos² θ) sin θ = cos θ cos² θ
sin θ - 2 sin θ cos² θ = cos³ θ

Ini juga tidak mengarah ke identitas yang benar.

Mari kita periksa apakah ada identitas yang bisa menyederhanakan (1 - 2 cos² θ) menjadi sesuatu yang berhubungan dengan cotan θ.
Kita tahu 1 - 2 cos² θ = -cos(2θ).
Jadi, sisi kiri = tan θ csc θ sec θ (-cos(2θ)).

Jika kita menyederhanakan tan θ csc θ sec θ = 1 / cos² θ.
Sisi kiri = (1 / cos² θ) * (-cos(2θ)).

Mari kita coba ubah cotan θ menjadi sesuatu yang melibatkan cos² θ.
Cotan θ = cos θ / sin θ.
Cotan² θ = cos² θ / sin² θ = cos² θ / (1 - cos² θ).

Ini juga tidak membantu.

Asumsikan ada kesalahan dalam soal, dan kita harus membuktikan identitas lain yang mirip.

Namun, jika kita harus membuktikan soal persis seperti yang tertulis, mari kita lihat kembali:
tan θ csc θ sec θ (1 - 2 cos² θ)

Kita tahu tan θ = sin θ / cos θ, csc θ = 1 / sin θ, sec θ = 1 / cos θ.
Suku (1 - 2 cos² θ) dapat ditulis sebagai -(2 cos² θ - 1) = -cos(2θ).

Jadi, sisi kiri = (sin θ / cos θ) * (1 / sin θ) * (1 / cos θ) * (-cos(2θ))
= (1 / cos² θ) * (-cos(2θ))

Kita ingin ini sama dengan cotan θ = cos θ / sin θ.

Mari kita manipulasi sec² θ - 2:
sec² θ - 2 = (1/cos² θ) - 2 = (1 - 2 cos² θ) / cos² θ.

Ini adalah bagian dari ekspresi kita.
Jadi, sisi kiri = sec² θ - 2.

Kita perlu membuktikan bahwa sec² θ - 2 = cotan θ.
Ini jelas tidak benar secara umum.

Ada kemungkinan bahwa soal tersebut memiliki kesalahan ketik. Jika soalnya adalah membuktikan identitas yang berbeda, maka jawabannya akan berbeda.

Jika kita berasumsi bahwa soalnya benar dan kita harus menemukan cara untuk membuktikannya, mari kita periksa identitas yang mungkin relevan.

Kita punya sisi kiri = (1 - 2 cos² θ) / cos² θ.
Kita ingin ini sama dengan cos θ / sin θ.

Ini mengarah pada sin θ - 2 sin θ cos² θ = cos³ θ.

Mari kita coba substitusikan nilai θ tertentu, misalnya θ = π/4.
LHS: tan(π/4) csc(π/4) sec(π/4) (1 - 2 cos²(π/4))
= 1 * sqrt(2) * sqrt(2) * (1 - 2 * (1/sqrt(2))²)
= 2 * (1 - 2 * (1/2))
= 2 * (1 - 1)
= 0

RHS: cotan(π/4) = 1.

Karena LHS = 0 dan RHS = 1, identitas ini jelas salah.