Buktikan n^3 + 2n habis dibagi 3, untuk setiap n bilangan

Terbukti bahwa $n^3 + 2n$ habis dibagi 3 untuk setiap bilangan asli $n$ menggunakan induksi matematika.

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa $n^3 + 2n$ habis dibagi 3 untuk setiap bilangan asli $n$, kita dapat menggunakan prinsip induksi matematika.

**Langkah 1: Basis Induksi**
Untuk $n=1$, kita periksa apakah $1^3 + 2(1)$ habis dibagi 3.
$1^3 + 2(1) = 1 + 2 = 3$.
Karena 3 habis dibagi 3, maka pernyataan tersebut benar untuk $n=1$.

**Langkah 2: Asumsi Induksi**
Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk suatu bilangan asli $k$, yaitu $k^3 + 2k$ habis dibagi 3. Ini berarti $k^3 + 2k = 3m$ untuk suatu bilangan bulat $m$.

**Langkah 3: Langkah Induksi**
Kita perlu membuktikan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk $n=k+1$, yaitu $(k+1)^3 + 2(k+1)$ habis dibagi 3.

$(k+1)^3 + 2(k+1) = (k^3 + 3k^2 + 3k + 1) + (2k + 2)$
$= k^3 + 3k^2 + 5k + 3$
$= (k^3 + 2k) + 3k^2 + 3k + 3$
$= (k^3 + 2k) + 3(k^2 + k + 1)$

Dari asumsi induksi, kita tahu bahwa $k^3 + 2k = 3m$. Substitusikan ini ke dalam persamaan:
$= 3m + 3(k^2 + k + 1)$
$= 3(m + k^2 + k + 1)$

Karena $m$, $k^2$, $k$, dan 1 adalah bilangan bulat, maka $(m + k^2 + k + 1)$ juga merupakan bilangan bulat. Oleh karena itu, $(k+1)^3 + 2(k+1)$ adalah kelipatan 3.

**Kesimpulan**
Berdasarkan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa $n^3 + 2n$ habis dibagi 3 untuk setiap bilangan asli $n$.