Buktikan n^3-n habis dibagi 6 untuk setiap n bilangan asli.

n^3 - n = (n-1)n(n+1). Hasil kali tiga bilangan berurutan selalu habis dibagi 6.

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa n^3 - n habis dibagi 6 untuk setiap n bilangan asli, kita dapat menggunakan prinsip induksi matematika atau faktorisasi.

Metode Faktorisasi:
1. Faktorkan ekspresi n^3 - n:
   n^3 - n = n(n^2 - 1)
   n^3 - n = n(n - 1)(n + 1)

2. Susun ulang faktor-faktor tersebut:
   n^3 - n = (n - 1) * n * (n + 1)

3. Analisis faktor-faktor tersebut:
   - (n - 1), n, dan (n + 1) adalah tiga bilangan bulat berurutan.
   - Di antara tiga bilangan bulat berurutan, pasti ada satu bilangan yang habis dibagi 2 (genap).
   - Di antara tiga bilangan bulat berurutan, pasti ada satu bilangan yang habis dibagi 3.

4. Kesimpulan:
   Karena hasil kali tiga bilangan berurutan mengandung faktor 2 dan faktor 3, maka hasil kalinya pasti habis dibagi oleh 2 * 3 = 6.

Jadi, terbukti bahwa n^3 - n habis dibagi 6 untuk setiap n bilangan asli.