Buktikan pemyataan-pernyataan berikut menggunakan induksi

Pernyataan terbukti benar menggunakan induksi matematika dengan basis induksi untuk n=1 dan langkah induksi yang menunjukkan kebenaran untuk n=k+1 jika benar untuk n=k.

Pembahasan

Untuk membuktikan pernyataan (1x2)+(2x2^2)+(3x2^3) +...+(nx2^n) = (n-1)2^(n+1)+2 berlaku untuk setiap bilangan asli n menggunakan induksi matematika, kita ikuti langkah-langkah berikut:
Langkah 1: Basis Induksi
Untuk n=1, sisi kiri = 1 * 2^1 = 2. Sisi kanan = (1-1)2^(1+1) + 2 = 0 * 2^2 + 2 = 0 + 2 = 2. Karena sisi kiri = sisi kanan, pernyataan berlaku untuk n=1.

Langkah 2: Langkah Induksi
Asumsikan pernyataan berlaku untuk n=k, yaitu (1x2)+(2x2^2)+...+(kx2^k) = (k-1)2^(k+1)+2. (Hipotesis Induksi)
Kita harus membuktikan pernyataan berlaku untuk n=k+1, yaitu (1x2)+(2x2^2)+...+(kx2^k)+((k+1)x2^(k+1)) = ((k+1)-1)2^((k+1)+1)+2 = k*2^(k+2)+2.

Ambil sisi kiri untuk n=k+1:
[ (1x2)+(2x2^2)+...+(kx2^k) ] + ((k+1)x2^(k+1))

Gunakan Hipotesis Induksi:
[ (k-1)2^(k+1)+2 ] + ((k+1)x2^(k+1))

= (k-1)2^(k+1) + 2 + (k+1)2^(k+1)

= 2^(k+1) [ (k-1) + (k+1) ] + 2

= 2^(k+1) [ 2k ] + 2

= k * 2 * 2^(k+1) + 2

= k * 2^(k+2) + 2

Ini sama dengan sisi kanan untuk n=k+1. Dengan demikian, terbukti bahwa pernyataan berlaku untuk setiap bilangan asli n.