Buktikan rumus berikut dengan induksi matematika!

Rumus terbukti benar dengan induksi matematika melalui basis induksi, hipotesis induksi, dan langkah induksi.

Pembahasan

Pembuktian menggunakan induksi matematika:
Langkah 1: Basis Induksi
Untuk n=1, sisi kiri = 1/(1.2) = 1/2. Sisi kanan = 1/(1+1) = 1/2. Jadi, rumus berlaku untuk n=1.

Langkah 2: Hipotesis Induksi
Asumsikan rumus berlaku untuk n=k, yaitu: 1/(1.2)+1/(2.3)+...+1/(k(k+1)) = k/(k+1).

Langkah 3: Langkah Induksi
Kita harus membuktikan bahwa rumus berlaku untuk n=k+1:
1/(1.2)+1/(2.3)+...+1/(k(k+1))+1/((k+1)(k+2)) = (k+1)/(k+2)
Dari hipotesis induksi, kita substitusikan jumlah k suku pertama:
k/(k+1) + 1/((k+1)(k+2))
Samakan penyebutnya:
[k(k+2) + 1] / ((k+1)(k+2))
(k^2 + 2k + 1) / ((k+1)(k+2))
(k+1)^2 / ((k+1)(k+2))
(k+1)/(k+2)
Ini sesuai dengan sisi kanan rumus untuk n=k+1. Jadi, rumus terbukti benar untuk semua bilangan asli n.