limit x->(1/4 pi) ((1-2sin xcos x)/(sin x-cos x))

0

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita perlu menganalisis fungsi yang diberikan: `((1-2sin xcos x)/(sin x-cos x))` ketika `x` mendekati `(1/4)pi`.

Kita bisa menggunakan identitas trigonometri untuk menyederhanakan pembilang. Ingat bahwa `sin(2x) = 2sin xcos x`.
Jadi, `1 - 2sin xcos x = 1 - sin(2x)`.

Limitnya menjadi: `lim x->(1/4)pi ((1-sin(2x))/(sin x-cos x))`.

Sekarang, mari kita substitusikan nilai `x = (1/4)pi` ke dalam ekspresi:
Pembilang: `1 - sin(2 * (1/4)pi) = 1 - sin((1/2)pi) = 1 - 1 = 0`.
Penyebut: `sin((1/4)pi) - cos((1/4)pi) = (sqrt(2)/2) - (sqrt(2)/2) = 0`.

Karena kita mendapatkan bentuk tak tentu `0/0`, kita bisa menggunakan aturan L'Hôpital atau manipulasi aljabar lebih lanjut.

Menggunakan aturan L'Hôpital, kita turunkan pembilang dan penyebut terhadap `x`:
Turunan pembilang: `d/dx (1 - sin(2x)) = -cos(2x) * 2 = -2cos(2x)`.
Turunan penyebut: `d/dx (sin x - cos x) = cos x - (-sin x) = cos x + sin x`.

Sekarang, kita hitung limit dari hasil turunan tersebut:
`lim x->(1/4)pi (-2cos(2x) / (cos x + sin x))`.

Substitusikan `x = (1/4)pi`:
Pembilang: `-2cos(2 * (1/4)pi) = -2cos((1/2)pi) = -2 * 0 = 0`.
Penyebut: `cos((1/4)pi) + sin((1/4)pi) = (sqrt(2)/2) + (sqrt(2)/2) = sqrt(2)`.

Jadi, hasil limitnya adalah `0 / sqrt(2) = 0`.