Buktikan rumus-rumus jumlah deret berikut berlaku untuk

Rumus terbukti berlaku untuk n=1 dan langkah induksinya menunjukkan bahwa jika berlaku untuk k, maka berlaku juga untuk k+1.

Pembahasan

Untuk membuktikan rumus 1/(1x2) + 1/(2x3) + 1/(3x4) + ... + 1/(n x (n +1)) = n/(n+1) berlaku untuk setiap n bilangan asli dengan induksi matematika, kita perlu mengikuti dua langkah utama: langkah basis dan langkah induksi.

Langkah Basis (n=1):
Kita perlu membuktikan bahwa rumus tersebut berlaku untuk n=1.
Sisi kiri: 1/(1 x (1+1)) = 1/(1x2) = 1/2.
Sisi kanan: 1/(1+1) = 1/2.
Karena sisi kiri sama dengan sisi kanan (1/2 = 1/2), maka rumus tersebut berlaku untuk n=1.

Langkah Induksi:
Asumsikan bahwa rumus tersebut berlaku untuk suatu bilangan asli k, yaitu:
1/(1x2) + 1/(2x3) + 1/(3x4) + ... + 1/(k x (k+1)) = k/(k+1) ---- (Asumsi Induksi)

Selanjutnya, kita perlu membuktikan bahwa rumus tersebut juga berlaku untuk n = k+1. Artinya, kita perlu menunjukkan bahwa:
1/(1x2) + 1/(2x3) + 1/(3x4) + ... + 1/(k x (k+1)) + 1/((k+1) x (k+2)) = (k+1)/((k+1)+1) = (k+1)/(k+2)

Gunakan Asumsi Induksi untuk mengganti bagian awal dari sisi kiri:
[k/(k+1)] + 1/((k+1) x (k+2))

Sekarang, kita samakan penyebutnya:
[k(k+2) / ((k+1)(k+2))] + [1 / ((k+1)(k+2))]

Gabungkan kedua pecahan:
(k(k+2) + 1) / ((k+1)(k+2))

Jabarkan pembilangnya:
(k^2 + 2k + 1) / ((k+1)(k+2))

Perhatikan bahwa pembilangnya adalah bentuk kuadrat sempurna (k+1)^2:
(k+1)^2 / ((k+1)(k+2))

Sederhanakan pecahan tersebut dengan membatalkan satu faktor (k+1) di pembilang dan penyebut:
(k+1) / (k+2)

Ini sama dengan sisi kanan yang ingin kita buktikan untuk n = k+1.

Kesimpulan:
Karena langkah basis dan langkah induksi telah dibuktikan, maka rumus 1/(1x2) + 1/(2x3) + 1/(3x4) + ... + 1/(n x (n +1)) = n/(n+1) berlaku untuk setiap n bilangan asli.