Diketahui (3 pi)/(2) <= a <= 2 pi dan tan a=-(4)/(3) .

Nilai $\sin(\frac{1}{2}a)$ adalah $\frac{\sqrt{5}}{5}$.

Pembahasan

Diketahui bahwa $\frac{3\pi}{2} \le a \le 2\pi$ (kuadran IV) dan $\tan a = -\frac{4}{3}$. Kita perlu menentukan nilai $\sin(\frac{1}{2}a)$.

Karena $a$ berada di kuadran IV, maka $\frac{3\pi}{2} \le a \le 2\pi$. Ketika kita membagi dengan 2, kita mendapatkan $\frac{3\pi}{4} \le \frac{1}{2}a \le \pi$. Ini berarti sudut $\frac{1}{2}a$ berada di kuadran II.

Dalam kuadran II, nilai $\sin$ adalah positif dan nilai $\cos$ adalah negatif.

Kita gunakan identitas trigonometri untuk $\sin(\frac{1}{2}a)$: $\sin^2(\frac{1}{2}a) = \frac{1 - \cos a}{2}$.

Kita perlu mencari nilai $\cos a$. Kita tahu $\tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = -\frac{4}{3}$. Kita bisa membayangkan segitiga siku-siku di mana sisi depan adalah 4 dan sisi samping adalah 3. Sisi miringnya adalah $\sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

Karena $a$ di kuadran IV, $\sin a$ negatif dan $\cos a$ positif. Jadi, $\sin a = -\frac{4}{5}$ dan $\cos a = \frac{3}{5}$.

Sekarang substitusikan nilai $\cos a$ ke dalam rumus $\sin(\frac{1}{2}a)$: 
$\sin^2(\frac{1}{2}a) = \frac{1 - \cos a}{2} = \frac{1 - \frac{3}{5}}{2} = \frac{\frac{5}{5} - \frac{3}{5}}{2} = \frac{\frac{2}{5}}{2} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Karena $\frac{1}{2}a$ berada di kuadran II, $\sin(\frac{1}{2}a)$ positif. Maka:
$\sin(\frac{1}{2}a) = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.